杨欣童｜撰文

陈晓雪｜编辑

2026年5月20日，一篇《关于单位距离猜想被证伪的评论》（Remarks on the disproof of the unit distance conjecture）被上传到arXiv，科技公司OpenAI即宣布，其聊天机器人已推翻了著名数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős ，1913–1996）关于“单位距离问题”的猜想。OpenAI表示，其系统运用了代数数论中的技术，能够选择坐标值为特定方程解的点，构造了一个反例。由此，证明了之前的猜想并不成立，解决了一个数学界80年未克服的难题。

“我自认为在AI对数学的影响这一问题上一直持相对审慎的态度，但这成果确实令人难以置信。”未参与这一研究的加州大学伯克利分校助理教授、数学家Tony Feng惊叹道[1]。文章的作者之一、多伦多大学专攻数论方向的阿鲁尔·尚卡尔（Arul Shankar）教授则表示：“这篇论文证明了当前的人工智能模型已超越单纯辅助人类数学家的角色——它们具备提出原创性巧妙想法并将其付诸实践的能力。”[2]

许多人可能不知道保罗·埃尔德什是谁，但或许知道美国加州大学洛杉矶分校的数学教授陶哲轩。1991年，埃尔德什为16岁的数学天才陶哲轩写了推荐信，帮助其进入了普林斯顿大学读博。[3]

埃尔德什是20世纪著名的数学家，1913年3月26日出生于匈牙利布达佩斯，17岁时通过免试进入位于布达佩斯的帕兹马尼-彼得大学（Pázmány Péter University）学习，1934年获得数学博士学位。他一生没有固定的工作或正式教职，仅通过讲课获得一些课时费，但他痴迷于数学研究，穿梭于各地大学和数学中心进行交流和合作。他与多达511位数学家直接合作，数学界甚至以“埃尔德什数”来衡量学者与他的学术关联度。埃尔德什的研究领域极为广泛，包括数论、图论和组合学等，生前发表了1475篇论文，主要贡献包括给出了素数分布的初等证明、切比雪夫定理的简洁证明和拉姆齐原理的拓展定理等，被誉为“20世纪的欧拉”。[4]

1946年，埃尔德什提出了一个著名的猜想：定义u(n)为平面n个点中，某一个特定距离的点对最多可以出现的次数，埃尔德什猜想u(n)的上界是n^1+ε。[5]由于猜想中考察的特定距离往往被设置为1，因此该猜想也被称为“单位距离猜想”。

直观而言，无论如何在平面上排列n 个点，距离为1的点对数量都不会比点的总数多出太多。例如，n=2时最多有1对，n=3时最多有3对，n=4时最多有5对（见图1、图2）。单位距离猜想的一个核心预期是：平面上单位距离的数量不会比点的数量多太多。

埃尔德什对这个问题非常感兴趣，他最早于1982年的国际数学家大会上提出悬赏300美元的奖金给证明或反驳他的猜想之人，1995年将其增加至500美元。[6,7]

数学家们为解决这个问题做出了很多努力。1984年，数学家乔尔·斯宾塞（Joel Spencer）、安德烈·塞迈雷迪（Endre Szemerédi）和威廉·特罗特（William T. Trotter）将单位距离问题巧妙地转化为了“点与单位圆之间的相交次数”问题，证明了平面上n个点所能构成的单位距离数量最多为与O（n^4/3），进一步精确了距离为1的点数数量的上界。[10]埃尔德什基于这个结果提出了更弱（点数比先前猜想增加的快一点）的猜想：u(n)的上界是O(ne^{ᶜˡᵒᵍⁿ⁄ˡᵒᵍˡᵒᵍⁿ)}。然而，在接下来的四十余年里，埃尔德什的猜想并没有被证明或者推翻。[8]

AI的最新结果，赶走了这朵笼罩在数学界80年的乌云。

OpenAI公司表示，数学家向OpenAI公司的一款实验性通用推理系统发出了一个指令，便得到了一个长达125页的数学证明。[9]随后，来自全球的9名数学家对AI的证明进行了验证和简化。

2026年5月20日，AI与数学家共同合作的成果被整理成一篇论文并发布至arXiv，就是开头提到的《关于单位距离猜想被证伪的评论》一文。论文作者是为AI做验证和简化的九名数学家——诺加·阿隆（Noga Alon，普林斯顿大学数学系）、托马斯·F·布鲁姆（Thomas F. Bloom，曼彻斯特大学数学系）、W·T·高尔斯（W. T. Gowers，剑桥大学数学科学中心）、丹尼尔·利特（Daniel Litt，多伦多大学数学系）、威尔·萨温（Will Sawin，普林斯顿大学数学系）、阿鲁尔·尚卡尔（多伦多大学数学系）、雅各布·齐默曼（Jacob Tsimerman，多伦多大学数学系）、汪洋（台北“中央研究院”数学研究所）和梅兰妮·马切特·伍德（Melanie Matchett Wood，哈佛大学数学系）。论文分为两个部分，第一部分是OpenAI生成的关于埃尔德什单位距离猜想的反例，一个精炼且经人工验证的版本，第二部分是九名数学家对这一证明的评论。

哈佛大学数学系教授梅兰妮·马切特·伍德评论道：“我认为这个论证将数论完美地应用于一个自然且具体的问题之中……这一进展让我们深刻认识到：当我们将一个领域的思想应用于另一个领域时，数学领域常常会出现有趣而富有突破性的成果。”

普林斯顿大学数学系教授威尔·萨温表示：“它（AI）常常通过坚持探索人类可能认为不值得耗费时间的研究路径，从而得出最出人意料的结果——这种能力既源于超乎常人的耐心，又源于对各类技术设备的深刻理解。”[2]

综合这九位数学家的评论，AI的成功源自其对不同数学领域的综合应用。AI的核心思路是通过代数数论工具和几何数论方法，构造出平面上的特殊点集，使得单位距离对的数量随点集规模超线性增长。具体过程如下：

首先，AI选择了全复数域，而不是平面实数域。利用Golod-Shafarevich定理构造了一系列嵌套的全复数域。在每个数域K中，AI生成大量模长为1的代数数。然后利用高维格点投影到平面来构造目标点集。最后，AI进行了验证。

通过以上步骤AI证明了以下定理：存在ε>0使得以下结论成立：存在一系列点集Pᵢ ∈ R²，使得∣Pi∣→∞且Pi→P中的单位距离数量至少为∣Pi∣^1+ε（对所有i均成立）。[2]通俗地说，就是AI构造得到了一个组合方式，使得点越来越多的时候，单位距离的点对数量增长得很快，比之前埃尔德什设想得快得多。因此，埃尔德什的猜想错了。

在这个过程中，AI展示出对数学知识运用的广度和深度。其广度体现在将数论中的全复数域、类域塔与几何中的格点投影结合，展示了AI整合不同数学分支知识的能力；其深度体现在给出了一条有秩序的、连贯的、推理距离长的链条。《自然》对此的报道写道：“（该AI系统）展现出跨领域知识整合与深度逻辑推演能力。”[9]

对于AI推翻“单位距离问题”的猜想意味着什么，即便同为这一文章的作者，数学家们有不同的看法。

乐观派展现出对于AI十足的信心，认为AI可以促进数学的发展。曼彻斯特大学数学系研究员托马斯·布鲁姆表示：“人工智能正帮助我们更全面地探索历经数百年构建起来的数学殿堂”。另外一位作者普林斯顿大学教授诺加·阿隆也表示，“AI在这里实现了许多杰出的人类研究人员尝试过却未能实现的目标。”[2]

同时，也有数学家表达了对未来AI侵入数学研究的担忧。伍德担心AI生成的论文中未能恰当引用相关先前研究，呼吁数学家共同体尽快建立AI辅助论文的引用规范和最佳实践。[2]汪洋则提出了一个更广泛、更具社会性的问题，即当AI利用数学家公开的成果获利时，谁应享有这些利益。[2]

当前，数学界已经意识到AI带来的这一系列挑战。6月2日， 16位数学家牵头发布《莱顿人工智能与数学宣言》（Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics），呼吁数学界、机构、政府及工业界采取行动，积极应对人工智能在数学研究领域带来的挑战，同时保护数学研究的核心价值。这一宣言获得国际数学联盟（IMU）的正式背书。截至2026年6月3日，已有超过715位签署人，其中包括多位著名数学家，如菲尔兹奖得主、德国马克斯·普朗克数学研究所所长彼得·舒尔茨（Peter Scholze）、数学家、普林斯顿高等研究院前院长罗布特·戴克赫拉夫（Robbert Dijkgraaf）、伦敦帝国理工学院纯数学教授凯文·巴扎德（Kevin Buzzard）的公开支持。[11]