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他一生只发表了27篇论文，却发现了一个比圆周率更复杂的常数

2023/03/02
导读
2.7
知识分子
The Intellectual


摄影/ Predrag Cvitanović ，Flickr


撰文|丁玖（南密西西比大学数学系教授）

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作为混沌理论的先驱，米切尔·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum，1944年12月19日-2019年6月30日)是个与众不同的科学家，在进入学术界的头四年，他只发表了一篇学术文章，事实上他一生也只发表独立完成或与人合作的27篇科学论文。


他毫不追求挤文章、出成果、“拿项目”、图虚名，而是只进行花再多时间也一定要满足自己好奇心非搞个水落石出不可的科学追求。著名的“费根鲍姆普适常数”就是这种执着精神浇灌出的美丽花朵。


这个在纽约城长大的犹太移民后裔，他一生都不按部就班，特别爱好自学：少年时自学弹钢琴，高中时自学微积分，大学时自学广义相对论。本科专业为电机工程的他，却在四年内修完了所有的数学和物理课。


1964年，费根鲍姆进入麻省理工学院读电子工程的研究生，但很快转读物理，于1970年获得博士学位。在接下来的四年中，他在康奈尔大学和佛吉尼亚理工学院暨州立大学各待了两年，总共只发表了一篇学术论文，是个产量极低的初出茅庐者。


在年轻人学术生涯的早期，这样少的论文记录如在中国的大学，基本上属于“非升即走”的那类运气不佳者。


1974年，费根鲍姆被招募进了一个著名的国家实验室。费根鲍姆对未知世界的探索精神，他的顶头上司对他的放任自由，他的研究环境对他的正面影响，让他在4年后完成了著名的论文《一个非线性变换类型的量子普适性》。


他也因为这项开拓性的工作获得了1986年的沃尔夫物理学奖(Wolf Prize)，颁奖理由是：“以表彰他开创性的理论研究，证明了非线性系统的普遍特性，这使得对混沌的系统研究成为可能。”


这篇文章将简要地回顾他的一生并描绘他那极具创造性的著名工作，这项工作的诞生值得科学工作者和科学界管理人士们细细回味。
1

只发表过一篇论文的青年物理学家

1987年首版、二十年内销售了一百万册的美国畅销书《混沌：开创一门新科学》(Chaos: Making a New Science)，在第一章开头，就生动地描绘了一幅夜景：“1974年，在新墨西哥州的小城洛斯阿拉莫斯，警察们曾一度担忧地注意到一位夜复一夜在后街上踱来踱去的男人，他燃着的烟头红点在黑夜中飘忽不定。”这个男人就是费根鲍姆，披着长发的他像一个“幽灵”，深夜经常在雇他而来的洛斯阿拉莫斯国家实验室附近的街道上游荡。


上世纪七十年代的洛斯阿拉莫斯国家实验室，早已从三十年前美国“原子弹之父”罗伯特·奥本海默(Robert Oppenheimer，1904-1967)领导的“曼哈顿工程”时的战时紧张中缓和过来。尽管绝大多数的科学家“像士兵从战壕撤退一样回到各自的大学教书”，但这个曾经一片荒凉的地方已成长为一个引诱年轻人的超级“吸引子”，也是拥有大型计算机最多的全美科学研究中心之一。


洛斯阿拉莫斯国家实验室理论部的新主任彼得·卡拉瑟斯(Peter A. Carruthers，1935-1997)和三十年前的老主任汉斯·贝特(Hans Bethe，1906-2005)一样，也来自康奈尔大学物理系，事实上他的博士论文指导教授就是贝特。1973年到任后，他做的第一件事就是解雇了几位高级研究员，而代之以他所精心挑选的新鲜血液。当费根鲍姆第二年被他雇用时，还未进入而立之年，但已经佩戴了四年粒子物理的博士帽子，在另两所知名大学的熔炉里锻造过。这位头发长长、不修边幅的地道纽约城布鲁克林人，讲话时眼光急转、语速飞快、激情四射。从美国东南部搬到西南部之后，同事们只看到他与众不同地干活、漫步、思考，一天“二十五”个小时工作好像还嫌不过劲。


然而如前所述，到那时为止他只发表过一篇论文。在将论文数量视为成功标志的那些大学，大概前景黯淡，既难申请到国家级的研究基金，可能也会导致连锁反应，比如收入也可能会减少。在美国研究型大学走上“通往终身聘用之路(tenure track)”的新科助理教授，如果在六年试用期开始后连续几年没有在期刊上露过什么脸，那么中途收到的院长“三年考察报告”也可能充满“警告之语”。如果继续不论文挂帅，下一个三年后试用期结束时很可能就要卷铺走人。


“不发表则灭亡”似乎是天经地义的大学游戏规则，今日更甚，导致大量滥竽充数论文以雨后春笋之势横行霸道一些文明古国的学术市场。但是，卡拉萨斯完全不是那种只看文章数量不看论文创新性的部门领导，他深知创造性研究不会是什么“研究计划”之后的产儿。他还清清楚楚地记得康奈尔大学的物理学教授、1980和1982年分别获得沃尔夫物理学奖和诺贝尔物理学奖的肯尼斯·威尔逊(Kenneth G. Wilson，1936-2013)，乍一看似乎也写不出什么论文，但无人敢说他缺乏对物理科学的洞察力。一旦他的思想开了花，论文就会像潮水一般地滚滚而来。


威尔逊与美国物理学家里奥·卡丹诺夫(Leo Philip Kadanoff，1937-2015)及英国物理学家、化学家兼数学家迈克尔·费希尔(Michael Ellis Fisher，1931-2021)共享的沃尔夫奖，表彰了他们“突破性地发展了相变临界行为的一般理论”，而两年后威尔逊独得诺贝尔奖，“表彰他关于与相变相关的临界现象的理论”，包括他同费希尔及卡丹诺夫针对相变问题提出的“重正化群”理论。他们研究物质在两种不同的状态之间临界区域的奇妙性质，譬如流体的液态和气态，或金属的磁化和非磁化。这时的复杂现象必须要用到非线性的数学来精确描述，这可以从液体突然沸腾时在它和气体的界面上看到的一团乱象来想象。 

六十年代卡丹诺夫处理“临界现象”的重正化基本想法是把原子间的相互联系用所谓的“尺度变换”来刻画，即把一些看上去不变的物理量，例如质量，看成似乎是随着观测的尺度而上下浮动，这和“分形之父”本诺瓦·曼德勃罗博(Benoit Mandelbrot，1924-2010)在六十年代末关于英国海岸线有多长的看法颇有异曲同工之处。但是，跨越尺度的变化并非是任意的，而是遵循某种“相似性”的规律。威尔逊的重大贡献在于运用不同尺度的“自相似性”，从而提供了计算可能性。


费根鲍姆被威尔逊的深刻思想迷住了，于是他要用自相似性的方法来对付湍流问题。湍流的特点之一就是自相似性：大涨落带有小涨落，大漩涡包含小漩涡。有序流体进入混沌状态产生湍流，吸烟者看到袅袅上升的烟柱破碎成乱七八糟的漩涡。但是混沌之中是否还存在有序？这是一个大问题。


当吸烟不止的费根鲍姆站在快要进入瀑布区域、开始加速的溪流前，他凝神注视着急速前进、颤抖不已的水流，左右摇晃着自己的头颅：


“你可以注视着某种东西，比如一堆泡沫或别的什么。如果头动得特别快，你可以突然辨认出表面的整个结构，你可以从心中感觉到它。但是对任何有数学背景的人，当他看到这东西，或者仰望着累累浮云，或者在风暴中站在海堤上，他知道对于这一切实际上什么也不懂。”


费根鲍姆决心要当科学的弄潮儿，研究新的科学。他有一种坚定不移的信念：迄今为止的物理科学还未能理解困难的非线性数学。作为物理学家，虽然只有一篇发表在他名下的论文，但是他明白“粒子物理”、懂得“量子场论”。他已经积累了不同领域丰富的知识，并已经掌握了最新出现的计算技术，只要沉下心来，抓住本质，就有可能破译自然世界还在隐藏着的密码。正如后来他的顶头上司对此评价道：


“费根鲍姆具有正确的背景。他在正确的时候做了正确的事情，而且做得很出色。他不是做局部的事情，而是把整个问题弄清楚了。”
2

普适常数的诞生
作为第一步，费根鲍姆找到最简单的非线性函数，就从生态学家罗伯特·梅(Robert May，1936-2020)最近考虑过的那个描写种群数目变化的带参数二次多项式函数——逻辑斯蒂映射族Sr(x) = rx(1-x)开始了他的数值试验。远在普林斯顿大学的动物学梅教授通过动手计算，发现了当种群增长率r从3逐渐变大经过一系列所谓的“分叉点”r0 = 3, r1 ≈ 3.45, r2 ≈ 3.54,…后，映射迭代点序列的最终种群数目趋向于一个周期加倍并且稳定的周期轨道，但是梅从数值上发现了分叉现象的倍周期规律后没有继续前进，更伟大的发现将由费根鲍姆完成。那时，费根鲍姆还不知道他母校麻省理工学院的气象学教授、“混沌之父”爱德华·洛伦茨(Edward Norton Lorenz，1917-2008)在六十年代初做出的被形象化为“蝴蝶效应”的卓越成就，但在1975年夏天美国科罗拉多州的一次会议上，他听了加州大学伯克利校区的数学教授、1966年菲尔兹奖获得者斯提芬·斯梅尔(Stephen Smale，1930-)讲了同一个带参数函数的迭代由周期性变到混沌性的某些尚未解决的问题。斯梅尔敏锐的直觉让费根鲍姆感觉到有进一步探索的必要。


为此，费根鲍姆摆弄起了当时流行的 HP-65型手用计算器，把数学分析与数值实验结合起来，试图发现有序和混沌之间的桥梁。这座桥梁类似于流体中层流和紊流之间的通道。梅这样的生态学家已经看到随着参数变化的种群数目倍周期分叉的规律。例如，在某一个分叉点只要稍稍改变一下非洲斑马的增长率，它们的数目变化规则就会从四年周期变到八年周期。费根鲍姆决定先算出这些分叉点参数的精确值。


慢腾腾的计算器好几分钟才能算出周期加倍的精确参数值，参数越往前推移，计算就越费工费时。这反而帮了费根鲍姆的大忙。他可以从容不迫地把数据一一抄下来，在等待下一个计算结果时可以静静地思索一番，甚至还有余暇猜猜下一个的答案会在哪里。如果三十年后的他重新开始这一项工作，用的是美国Cray公司制造的超级计算机，说不定一些有趣的结果稍纵即逝，某个重要的模式逃之夭夭，他也许有可能什么也发现不了。看来一点不假，在科学研究的磨坊里，像日耳曼民族人那样慢工出细活是完全值得的。


几个回合的计算一下来，费根鲍姆的眼睛突然一亮，就好比是意大利探险家克里斯托佛·哥伦布(Christopher Columbus，1451-1506)发现了美洲新大陆。这些分叉参数值出现了某种引人注目的规律性：它们似乎是以一种几何数列的变化模式向前推进，即目前值和前一个值的差与下一个值和目前值的差之比值数列最终趋向于一个固定常数。倍周期的来临不光越来越快，而且渐近地以某个上帝安排的恒定加速度越来越快。这种几何收敛的迹象暗示着他，某种尚未人知的东西在不同的尺度上重复。


这个“收敛常数”在费根鲍姆手里那个简单计算器上的最高精度是一个三位小数，他看到的是4.669这个数。他的脑海里马上就发出疑问的信号：这个奇怪的新数和那些在数学的家族里大名鼎鼎的绝对常数π = 3.14159 … 或e = 2.71828 … 等等有亲戚关系吗？他翻箱倒柜地找来找去，“家谱花名册”中没有发现什么“关系户”。


过了两个月，费根鲍姆突然想到了他实验室的三位同事：尼古拉斯·米特罗波利斯(Nicholas Constantine Metropolis，1915-1999)、保罗·斯坦(Paul R. Stein)，以及迈伦·斯坦(Myron L. Stein)；他们中的第一个人曾在原子弹研制工程中替斯坦尼斯拉夫·乌拉姆(Stanislaw Ulam，1909-1984)发明的“随机试验法”起了个现今广泛使用的名字“蒙特卡洛”，第二个人在五十年代和乌拉姆合作探讨过电脑国际象棋试验。这三人在前几年研究过一些类似函数的迭代，并警告过费根鲍姆关于这些迭代“吓人的复杂性”。他们也曾经考察过其他一些带参数的函数族，并且发现它们共享某些模式。事实上，就是这前一个斯坦早在1963年就和乌拉姆合写过关于非线性分析的文章，并在一段时间前曾经告诉过费根鲍姆，倍周期分叉的现象不只发生在如上的二次函数族上，它也发生在带有参数的正弦函数r sin (πx) 族上。想到这些，一个念头顿时飞了出来，何不再瞧瞧这族正弦函数？说干就干，费根鲍姆又拿起与他形影不离的HP-66 计算器进行了新一轮倍周期分叉计算。没想到，新的参数分叉值相邻差分之比依然是几何收敛的，但令人不可思议的是，其不变的收敛速率还是那个三位小数：4.669。


两个家谱相距甚远的函数族，一为三角函数，另一为二次多项式，一个是超越函数，另一个是代数函数，却有着某种一致的规律性，导致了一模一样的结果。费根鲍姆激动得打电话给他父母，告诉他们他也许因此而“名满天下”。接下来，他不辞劳苦、马不停蹄地试验了他能想得到的其他带参数的函数，比如另一种形式的带参数二次多项式 r–x2，分叉点产生的几何收敛速度常数无一例外地仍就是同一个数：4.669。


费根鲍姆又打电话给资深的保罗·斯坦报告这一消息，但保罗持怀疑态度。毕竟只有三位小数的精度，谁知道第四位或到第八位是否都一样呢？怎么办？洛斯阿拉莫斯这个声名显赫的国家实验室有的是大型计算机，过去费根鲍姆像其他理论家一样不大看得起计算机的机械性运行，从未去学过什么计算机语言或编程。现在，为了证明谁是更正确的，费根鲍姆开始学习编写计算机 FORTRAN 程序。借助于计算机的慷慨帮助，第一天对这些函数他就得到同一个有五位精确度的常数：4.66920。当晚他又学会了怎样使用“双精度”计算，第二天就得到如下的精度：4.66920160910，对所有试验过的函数族都一样。现在人们可以写下这个常数小数点后的前二十六位数字：4.66920160910299067185320382…。


费根鲍姆发现了“普适性”。这个放之四海而皆准的普适常数，是他强烈的计算好奇心催生的宠儿。计算，给了他发现自然界宝藏的极佳机会，带给他阿里巴巴的芝麻开门。
3

真正的科学探索是什么？

不可思议的是，费根鲍姆的工作并没有立刻得到科学家的一呼百应，也没有像李天岩(1945-2020)和詹姆斯·约克(1941-)于1975年在《美国数学月刊》(The American Mathematical Monthly)上发表的李-约克混沌定理的深刻思想和严格证明那样一下子被科学界全盘接受。他由此写成的论文两年内被学术期刊频频拒稿，编辑们认为他的文章不宜发表。所以他的履历上列出的“论文发表一览表”连续几年依然只有一项。


在科学史上，出乎意料的独创性工作常遭厄运，学术权威们经常武断地判处一个新思想的死刑，直至它可能死而复生。


贫病而死的挪威人尼尔斯·阿贝尔(Niels Abel，1802-1829)和决斗丧生的法国人埃瓦里斯特·伽罗瓦(Évariste Galois，1811-1832)之高次多项式方程、后半生痛苦的匈牙利人雅诺什·鲍耶(János Bolyai，1802-1860)和顽强不已的俄罗斯人尼古拉斯·罗巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky，1792-1856)之非欧几里得双曲几何，都是众所周知的例子。


后来被比利时-法国数学物理学家大卫·吕埃勒(David Ruelle，1935-)尊称为“日本吸引子”的发现者、日本京都大学电机系当时的研究生上田皖亮 (Yoshisuke Ueda，1936-)在1961年11月27日那天研究电子线路的一类叫做“杜芬振动子”的非线性常微分方程时发现了十分混乱的现象，却被自己的导师视为“你的结果不外乎是概周期振动，不要提出什么与人不顾的定态概念”，而痛失了“混沌”发现权的良机，直到1970年才同意让他报告这一重要发现。正如李天岩教授在刊登于1988年的台湾普及杂志《数学传播》的一篇文章《关于“Li-Yorke混沌”的故事》中所为之惋惜的那样：“头彩已经被洛伦茨抢走了。”


数学家们对费根鲍姆也有些疑虑，原因之一是他并未提供一个严格的数学证明。1976年9月当他在洛斯阿拉莫斯召开的一个国际数学会议上向听众介绍他的理论时，刚刚起讲，和乌拉姆合写过一本书《数学与逻辑：回顾与展望》(Mathematics and Logic: Retrospect and Prospects)的波兰裔著名数学家马克·卡茨(Mark Kac，1914-1984)就站起来毫不客气地“将他一军”：


“先生，您想给出数目字还是给出证明？”


费根鲍姆回应道：“比前者多点，比后者少点。”


卡茨进一步诘难他：“是任何讲道理的人都称作证明的东西吗？”


做完报告之后，当费根鲍姆忐忑不安地征求卡茨的评论意见时，得到的反应是带有波兰口音、拖着“r”颤音的小小挖苦：


“是的，这果然是一个讲道理的人的证明，细节可以留给 r-r-rigorous （严格的）数学家们来填上。”


过后不久，一位大体上还算比较严格的数学家果然不负“卡茨”们的众望。1979年，美国数学家奥斯卡·兰福特(Oscar Eramus Lanford，1940-2013)给出了“费根鲍姆定理”用计算机辅助证明的细节，虽然这个“土法炼钢”法不见得那么地严格。他的文章《费根鲍姆猜想的计算机辅助证明》于1982年发表在《美国数学会通报》(Bulletin of the American Mathematical Society)上，其中的一些小错五年后被两位维也纳大学的作者改正，新文章刊登在《统计物理杂志》(Journal of Statistical Physics)上，标题是“费根鲍姆猜想的一个完全证明”。证明的结论是：对所有的带参数单峰函数，它们的分叉点数列都按这同样的普适常数行进着。所谓的“单峰函数”，顾名思义，就是其函数图像看上去像一匹单峰骆驼的驼峰。它的形状只有一个山头，而不是山头主义者所喜欢搞的多山头。


就像“四色定理”的计算机辅助证明一样，这类“计算机插手”的“拟数学证明”不容易获得严肃的数学家们的一致喝彩，因此，运用严格的数学推理来论证费根鲍姆数值发现的那个常数的“普适性”，是一项诱人的事业。终于，在数人寻求“非数值方法”证明的努力基础上，乌克兰裔数学家米哈伊尔·柳比奇(Mikhail Lyubich，1959-)于1999年在《数学年鉴》(Annals of Mathematics)上发表了关于费根鲍姆常数普适性的第一个完全的非数值证明。至于费根鲍姆常数本身，人们普遍相信它是一个像圆周率那样的超越数，但真正的证明尚未出现。事实上，连这个数是不是无理数还没有肯定的回答呢。数千年的数学史上有多少英雄好汉为了探索圆周率而青史留名，包括中国南北朝时期的数学家祖冲之(429-500)。然而直到1768年，历史才选中了约翰·兰伯特(Johann Heinrich Lambert，1728-1777)请他证明出圆周率是个无理数，他还不“画蛇添足”地猜测它进而是个超越数。又过了超过一百年，1882年，德国数学家费迪南德·林德曼(Ferdinand von Lindemann，1852-1939)才圆了兰伯特的梦想，完全证明出π也是超越数。今天，面对费根鲍姆常数，数学家依然“任重而道远”。


当然，费根鲍姆的开创性工作很快就获得了绝大多数人的承认和赞赏。尤其是1979年，当大家听说一名意大利物理学家和一名法国物理学家通过实验证实了倍周期分叉的确是依照他所预测的那样发展，他一下子就大红大紫起来。他前几年的部分科学发现分别在1978年和1979年连续两年都发表在德国斯普林格出版社发行的《统计物理杂志》上，其中第一篇的标题为“Quantitative Universality for a Class of Non-Linear Transformations”（一族非线性变换的量子普适性）。在1977年召开的第一届国际混沌大会上，物理学家约瑟夫·福特(Joseph Ford，1927-1995)如此评述道：


“费根鲍姆看到了普适性，发现了怎样作尺度变换，并且给出了一条走向混沌的道路。它在直觉上是诱人的。这是我们第一次有了一个人人都能理解的清楚模型。”

费根鲍姆以他智慧的大脑做向导，用他勤奋的双手做工具，终于挖掘出深藏不露的科学宝贝，科学人士向他欢呼，科学机构向他招手，科学奖章向他微笑。他的“普适常数”让他成为普天下名校争相抢夺的明星人物。1982年，十二年前他曾去那里做过博士后的康奈尔大学直接给了他正教授的职称，但四年后他被位于他长大城市纽约的洛克菲勒大学挖去当“丰田讲座教授”。那个在学术会议上向他尖锐责难的概率学家卡茨，曾在这所小而精的特殊大学待了二十年，但此时已经仙逝，不会再向他提问题了。回到家乡再当“纽约客”，费根鲍姆成了“不动点”，从此他待在那里，直至去世。


费根鲍姆获得的重要奖励包括美国麦克阿瑟基金会1983年的麦克阿瑟奖(MacArthur Fellowship)和以色列沃尔夫基金会1986年的沃尔夫物理学奖(Wolf Prize)。后者的颁奖理由是：“以表彰他开创性的理论研究，证明了非线性系统的普遍特性，这使得对混沌的系统研究成为可能。”有趣的是这次物理奖的另一名获得者阿尔伯特·利布查伯(Albert Joseph Libchaber，1934-)不仅是他刚加盟的洛克菲勒大学八年后的新同事，而且获奖理由也与他的类似：“以表彰他在动态系统中向湍流和混沌过渡的出色实验证明。”所以那一年沃尔夫物理奖特别钟情于“混沌”。


费根鲍姆的普适常数像外科医生手里的剪刀一下子剪开了紧裹大自然头部的层层面纱，让这位羞答答的美女露出了楚楚动人的大眼睛。也就是说，普适性揭示出自然世界无序的表象裹住的有序内核。今天他被我们纪念，不仅是因为他独得普适常数之光，而且是因为他不为浮云所驱，不为常规所绊，只为盯住始终如一的目标，力图为科学发现的大厦加铺一层。


他的故事也再次启示我们，真正的科学探险不是靠丰厚的政府基金作为保障，也不是凭巨额的商人赞助作为后盾。攀登科学之巅主要是那些视探索自然奇观为生命的“无意识行为”，只有个人拼命三郎般的不懈努力，才有可能抵达顶峰。 


 参考文献：（上下滑动可浏览）

  1. 1.丁玖，智者的困惑：混沌分形漫谈，高等教育出版社，2013。

  2. 2.James Gleick, Chaos: Making a New Science, Viking, 1987.

  3. 3.Wikipedia: Feigenbaum Constants, https://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_constants

制版编辑 | 松仪





THE END





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