图1：弦论（string theory）

撰文 | 张天蓉

责编 | 宁   茜、吕浩然

人们都说，物理学是以实验为基础的科学。如果一个物理理论长久不能被实验证实，还有继续研究的必要吗？如今，理论物理的顶峰：弦（理）论（string theory），看起来就属于这种理论。

自上世纪60年代弦论诞生以来，半个多世纪已经过去，它吸引了大量最优秀的数学、物理高材生，耗尽了许多年轻科学家的宝贵光阴甚至整个人生，但弦论学家们仍然无法提出任何目前能够直接被实验或观测验证的预言，原因是要实现它们所需的能量太大了，是现有（也许将来一段不短时期）的粒子对撞机实验完全无法达到的能量级别。因而，弦论的实验验证可谓遥遥无期。这种状况引发学界激烈的争论：弦论是“真正的科学”吗？继续研究它有何意义呢？

实际上，弦论几十年研究的功劳不小，不仅解决了粒子物理、宇宙学等领域的一些问题，还启发了数学家的思维，大大促进了数学某些方面的研究和发展。此外，它对科学思想、哲学等也颇有贡献。

因此，在介绍弦论的历史及简单内容之前，我们首先弹拨一曲“弦外之音”，让读者耹听一下：物理学（包括这几十年的弦论研究）对科学方法的影响，以及弦论对现代数学贡献了什么。

弦论之哲学思想，仍属于还原论的范畴，是古希腊就开始的自然科学主流。还原论在物理学上体现为追溯万物之本，从德谟克利特（Δημόκριτος， 约公元前460-公元前370）的原子论构想，到现代物理中的标准模型，表面看起来都是试图回答同样一个问题：宇宙中的万物（最终）是由什么构成的？

然而，随着科学技术的发展，哲学思想的内涵有了很大变化。古人说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。根据经典科学的概念，复杂的事物可以化简，房屋能够拆成砖块，大的物体可以分小；然后，再化简，再分小……一直深入下去。例如，人体由细胞组成，细胞由分子构成，分子又包含了原子，然后再到电子、质子和中子，一层比一层更小、更轻，也就是“更为基本”。

换言之，经典科学中溯本求源的手段是“拆”和“分”，然后再用测量来判断大小。测大小的最简单方法是用眼睛，房子大砖头小，因此房屋由砖头构成，一看便知。在实验室里则可以用显微镜观察到人体的细胞、分子、原子等等。固然，原子也不是最基本的，因为科学家们在原子的散射实验中又发现了电子和质子。

不过，再小下去就出现了问题。测量越来越困难，孰大孰小孰轻孰重，便难以判定。如此一来，也说不清谁是更基本的了！况且，“拆”和“分”的概念也失去意义。例如，分子原子等可以说成是物质一分再分而分出来的，但后来发现的许多“粒子”，却不是“分”出来的了。哪里来的呢？一是天上来的宇宙射线，二是对撞机中撞来撞去撞出来的。这两种新方法为人类提供了几百种不同的粒子，它们在撞来撞去的过程中互相“湮灭、生成、转化”，因此，难以判定谁更基本。

图2：β衰变

比如说，正电子和负电子对撞，可以湮灭而生成一对光子。你能说电子中包含了光子吗？显然不能，因为理论上，当光子能量足够时，你也可能观察到完全相反的逆过程（即两个光子对撞生成正负电子）。又如，图2a显示的是β衰变，一个中子转变为质子，同时释放一个电子和一个反电中微子。图2b所示则是另外一种过程（+β衰变）：一个质子转变成中子，同时释放一个正电子和一个正电中微子。诸如此类的“粒子”转换过程，不好用经典说法中的“分”来理解，也不能得出“谁组成谁”的结论。也就是说，到了比原子更小的层次，我们最好将图像和理论理解成是为了描述的方便而已，并非意味着某事物的内部就是图上画的那个样子。

尽管如此，物理学家仍然将几百种粒子分了类，确定了最少数目的“基本粒子”，在上一篇介绍的包括3种相互作用的标准模型中，这个数目是61（不包括引力子）。

不过，在弦论之前的物理，最终是将万物之本归结为某些“点状粒子”，而弦论则认为宇宙中最基本的，不是“点”，而是一段“弦”。

“物理理论从何而来？”这好像是个不成问题的问题，多数人的回答是，当然来自于实验数据。这是物理界公认的事实，也基本正确。人类对自然的认识从实践开始，再回到实践。发展初期的自然科学，也是首先始于观察和实验。以标准模型为例，如当年盖尔曼（Murray Gell-Mann，1929 -2019）的八正法（eightfold way），直到夸克模型（Quark Model），便是为了解释大量强子实验数据而作出的假设。理论一旦建立起来，又需要被更多的实验所证实。标准模型作为一个成功的粒子物理理论，就是因为到目前为止，几乎所有对引力之外三种力的实验结果，都符合这套理论的预测。

不过，事情也有例外，爱因斯坦的广义相对论，当初就并不是为了解决任何实验而建立的。反之，它是人类思想的胜利，是爱因斯坦遵循哲学观念（相对性原理）及逻辑推理，凭着创造性的直觉和猜测而得来的纯粹理性思维的杰作。如今，理性思维产生的广义相对论，已被多项实验以及天文观测数据证实，几年前人类第一次探测到的引力波，再一次证明了这个理论的正确性。

事实上，如今的物理学，已经越来越变成了理论领先于实验的学科。理论可以独立发展，理论可以预言暂时未观察到的事物，理论甚至还可以创造出新的理论。例如，根据18世纪发展起来的最小作用量原理，只需找到合适的拉格朗日作用量，就能得出物理定律。经典物理中的分析力学便是这样建立起来的，量子物理更是将此方法应用推广到了极致。此外，数学家诺特（Emmy Noether，1882-1935）有关对称和守恒的原理也为纯粹从理论预言新的物理规律提供了思路。

因此，评判一个物理理论是否正确，可以有一系列标准。除了实验这一条之外，还有所谓的理论美：简单、连贯、一致、优雅等等。因此，即使尚未被实验验证，杰出的科学思想也或许有很大的价值。

虽然弦论最早是来源于对强相互作用的（错误）研究，但后来却是完全靠数学思想和自身逻辑发展成了一个宏大而优雅的理论体系。也许迟早将会有实验或观测结果证明弦论的正确，正如一位弦论学者约翰·施瓦茨（John Schwarz，1941- ）所言：

数学物理早期是一家，分家后各自发展。数学的发展方向包括纯数学和应用数学，与物理相关的主要是应用数学，并且其作用大多数是为了计算。

物理和数学相互促进最早的例子应该是牛顿为了研究运动学而创立的微积分。之后便是刚才提及的变分法和分析力学。爱因斯坦用黎曼几何完整地解读了广义相对论的美妙，之后，广义相对论又反哺数学，促进了整体微分几何及流形理论等领域的发展。

到了量子场论时期，这种例子越来越多了，场论的研究除了影响应用数学之外，也涉及许多纯数学领域。例如，杨-米尔斯的非阿贝尔规范场论（non-Abelian gauge field），在数学上是一个非常活跃的研究领域，它产生了西蒙·唐纳森（Simon Donaldson，1957-）的工作，促进了数学中规范场论（Donaldson theory）的发展，推动了数学家研究在四维流形上可微结构的不变量，解决四维流形分类的问题。

杨-米尔斯理论相关的另一个数学问题“存在性与质量间隙”，被列入克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute, 简称CMI）的“千年奖问题”[1]之一。该问题旨在寻求对一个猜想的证明，即证明杨-米尔斯方程组有唯一解，并且该解满足“质量间隙”这一特征。这个问题至今未被解决，千年奖问题中唯一被破解了的是“庞加莱猜想”（Poincaré conjecture）。该问题2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigory Perelman，1966-）完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖（Fields Medal），但并未现身领奖。佩雷尔曼的证明文章中，用到了物理学中“熵”的概念。

弦论研究中物理与数学的互动不胜枚举，物理的直觉灵感推动数学前进，数学则为弦论提供了一个非常重要的检验平台。尽管弦论目前还难以被物理实验证明正确与否，但由弦论所激发的数学却是正确而漂亮的，这点给予弦论一种间接的验证。下面简单介绍几个弦论研究促进数学发展的实例。

流形可以被简单地理解为局部平直的几何空间。如果以不同的维数来分类，可以有1维流形、2维流形……n维流形。

 图3：各种维度的流形

图3是流形的例子。虽然流形的维数n可以是任何正整数，但在一个平面图上我们只能画到2维流形，再高维的就画不出来了，只好辅之以想象。卡拉比-丘是一类特别的6维流形，是无法画出来也难以想象的，图3右图中显示的只是它的低维截面图。因此，读者不用纠结于“它到底长什么样”，可以简单地将它大概理解成极小又缠绕得极紧的“一团东西”，隐藏于我们看不见摸不着（后几篇会介绍）的“额外维度”中。

数学家卡拉比（Eugenio Calabi，1923-）最先于1957年就这一类流形提出了一个猜想，美籍华裔数学家丘成桐（Shing-tung Yau，1949-）于1978年证明了这个猜想。然后，1985年，四位弦论研究者坎德拉（Philip Candelas，1951-）、霍洛维茨（Gary Horowitz，1955-）、斯特罗明格（Andrew Strominger，1955-）和威滕（Edward Witten，1951-）写了一篇革命性的论文，他们发现他们所研究的超弦理论中额外的6维空间是复3维（实6维）的卡拉比-丘流形。这使得卡拉比-丘空间成为之后三十年来数学和物理中非常热门的课题[2]。由弦论所激发的灵感使得一些非常重要的数学问题得以解决。反之，数学又为验证弦论所激发的构想是否正确或自洽，提供了一种方式。

丘成桐深刻感受到物理学家的直觉对解决数学问题的作用，但以上所述并不是第一个使他吃惊的例子。丘成桐与4位作者之一的威滕早有交集，因为他有关流形的研究工作，本来就与广义相对论弯曲时空性质有关。广义相对论中有一个正能量定理（Positive energy theorem），或称正质量猜测（positive mass conjecture）。丘成桐使用非线性偏微分方程中的极小曲面理论，在1979年对此猜想给出了一个完全的证明。这在当时是一项了不起的工作，是丘成桐1982年获得菲尔兹奖的主要成就之一。

1981年的一天，物理学家戴森（Freeman Dyson，1924-2020）来敲丘成桐普林斯顿高研院（Institute for Advanced Study，简称IAS）办公室的门， 向他引荐了年轻的物理学家威滕。当时只有30岁的威滕用线性偏微分方程理论和Dirac旋量的方法，以及源于物理中经典超引力的思想，对正能量猜测给出了一个十分简洁的证明。物理学家尤其喜欢威滕的证明，因为他们不需要再钻研数学中复杂的极小曲面理论了。这个另辟蹊径的证明让丘成桐震惊。之后，威滕于1990年获得了菲尔兹奖。

图4：数学家丘成桐和弦论学家威滕

再回到卡拉比-丘流形的话题。后来，坎德拉、布莱恩·R.格林（Brian R. Greene，1963-）等物理学家又发现Calabi-Yau 3-fold具有一种性质叫镜像对称性（Mirror symmetry），但指的不是通常意义下的镜面对称性（见接下的篇章）。坎德拉将这个对称性用于解决卡拉比-丘流形的一个与“枚举几何”有关的问题。

枚举几何的目的，是研究几何中某类图形的数量。例如，举两个最简单的枚举几何问题：通过平面上给定两点能作几条直线？答案是1；另一个例子稍微复杂（Apollonius's problem）：平面上给定三个圆，和这三个圆都相切的圆有多少个？一般情况下，答案是8（PS：读者们可以想象一下这8个圆都是如何相切的，我们下期放图！）。

刚才是极为简单的平面（枚举）几何例子，答案很容易计算，但随着问题复杂性增加，即使是2维中的问题，计算也会很快就变得非常繁琐，完全不可能依赖直觉计算出来。到了高维空间就异常困难了。首先是没有了直观图像，几何方法不便使用，只好借助于代数，所以就有了“代数几何”这门学科。当年的坎德拉等人要解决的问题，是要计算6维的卡拉比-丘流形上有理曲线的数目，他们1991年算出来了[3]，结论是：317,206,375。

然而，两位挪威数学家尔林斯瑞德（Geir Ellingsrud，1948-）和斯达姆（Stein Stromme，1951-2014）已经努力用他们复杂的工具和一系列天才的计算机程序，来计算同样的问题，却得到了不同的结果：2,682,549,425。因此，开始时数学家们有点怀疑弦论学家们的结果，因为物理学家用了数学家没有听说过的“镜像对称”技巧。后来，尔林斯瑞德和斯达姆谨慎地检查了他们的工作，然后在计算机程序中发现了一个错误。于是，他们宣布了他们的修正，结果的数值与物理学家们计算的完全一致！

图5：Philip Candelas在UT Austin

尽管最初的镜像对称方法是从物理学出发的，数学上并不严格，但后来它的许多数学预测已经被严格证明了。再后来，镜像对称成为纯数学界中的热门话题，法国俄裔数学家马克西姆·孔采维奇（Maxim Lvovich Kontsevich，1964-）于1998年获得菲尔兹奖，其部分原因便与镜像对称及枚举几何有关。

参考资料：

[1]千禧年大奖难题：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%83%E7%A6%A7%E5%B9%B4%E5%A4%A7%E7%8D%8E%E9%9B%A3%E9%A1%8C

[2]Shing-Tung Yau and Steve Nadis，The Shape of Inner Space, Basic Books，New York，pp.169-70.

[3]Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda. A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory. Nuclear Physics B. 1991, 359 (1): 21–74.

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