正如烹饪一样，高级餐厅的摆盘再精致，后厨难免一地鸡毛。现成的数学理论如水晶般无瑕，但数学家发展这些理论的过程又是如何呢？

撰文 | 方弦（组合数学博士、科学松鼠会会员）

编辑 | 一块肉饼

1758年圣诞节，德国的一位业余天文学家帕利奇发现，天上出现了一颗彗星。

对于天文学家来说，彗星并不陌生。早在公元前613年，我国的天文学家就见过彗星，并在《春秋》中留下了记录：“秋七月，有星孛入于北斗”。这种天体拖着长长的尾巴，在天空中格外显眼。但在古人眼中，这种不知何时而来的怪异星体，显然是灾祸的预兆。

直到1705年，英国天文学家哈雷在研究天体的引力影响时，在故纸堆中发现1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星似乎拥有同样的轨道。他猜想它们应该是同一颗彗星。他预测，这颗彗星应该会在1758年左右回归。帕利奇观察到的，正是这次回归。至此，彗星不再是神秘的预兆，而是如约而至的自然现象。

而让哈雷能正确做出预测的，正是牛顿的万有引力理论，还有他和莱布尼兹当时正在发展的微积分。

一窥数学的“后厨”

数学发展到现在，已经深入了各个学科。除了物理、化学等自然科学，经济学、心理学等社会科学为了得到更为精确的结论，用到的数学也越来越多。哈雷彗星的预测当年被认为准确得近乎神迹，但现在各行各业中，这样的预测简直稀松平常。通过数学的计算，科学家解开了宇宙的奥秘，工程师设计了精巧的结构。数学计算的结果，与应用若合符节，给人们留下了“数学即精准”的印象。

但正如烹饪一样，高级餐厅的摆盘再精致，后厨难免一地鸡毛。现成的数学理论如水晶般无瑕，但数学家发展这些理论的过程又是如何呢？数学史专家克莱因的这本经典名著《数学简史：确定性的消失》，就让我们有了一窥数学“后厨”的机会。让我们能看到，在发展为当今严密精确的理论之前，数学所经历过的模糊与混乱。在克莱因眼中，作为描述这个世界最确定无误的数学体系，在经历过三次危机之后，就彻底失去了它的确定性。

三次数学危机

第一次危机发生在几何领域。建基于公理与逻辑的欧几里得几何，两千年颠扑不破的历史被非欧几何的发现所打断。人们至此发现，几何不止一种，而这个世界也没有理由只能用欧氏几何来描述。与此同时，第二次危机在代数中酝酿着。当时代数的顶峰微积分虽然实用，但逻辑体系模糊至极，“无穷小量”这一概念更是遭人诟病。牛顿和莱布尼兹在17世纪开拓的微积分体系，要到19世纪才打好严密的根基。在两次危机之后，数学家终于开始正视数学的严密性，希望用更精确的逻辑建筑数学大厦，保证它的稳固。

然而，第三次危机就此袭来。对于应否接受康托尔“无穷之后仍有无穷”的概念，数学家之间的争论逐渐上升到了数学基础应归于何处的论战，出现了数个不同的学派。其中有主张“数学就是思维构造产物”的直觉主义，他们认为人类直觉不能把握实在无穷，而将其拒诸门外；有主张“数学可以完全化归为逻辑”的逻辑主义；还有主张“数学不过是符号游戏”的形式主义，其中符号代表什么其实并不重要。

然而，这三个派别都分别碰到了各自的难题：直觉主义拒绝了太多的数学，就连领军人物也不愿意只在这个框架下继续研究；逻辑主义的带头人弗雷格用逻辑为许多数学分支搭建了架构，但却被罗素悖论一下子摧毁了；希尔伯特提出了形式主义的纲领，将一切数学化归为算术，希望通过证明算术没有矛盾来证明数学中不可能出现矛盾，但哥德尔的不完备性定理打碎了这一梦想。哥德尔证明，只要形式系统内包含完整的算术体系，就不可能在系统内部证明自身不会出现矛盾。也就是说，希尔伯特的梦想不可能实现。

但数学基础总要有个共识。现今，大部分数学家都将所谓的策梅洛-弗兰克公理集合论当作几乎所有数学的基础，它延续了形式主义和逻辑主义的某些方法论。虽然其中大部分公理在直观上无可辩驳，但也有一些公理，比如说选择公理，还有一些争议。对于克莱因来说，这就是数学确定性的终结：选择什么公理体系并没有确定的标准，所以数学并没有一个客观的基础。他认为，自此之后数学就走进了为抽象而抽象的误区，唯一留存坚实基础的，只剩下直接锚定于客观现实的应用数学。

“数学丧失了确定性”这个视角似乎非常灰暗，但真的如此吗？

结构主义

克莱因本人作为数学史的专家，在讲述三次数学危机时条分缕析，准确描述了数学从经验到严密的发展轨迹。然而，他在描述第三次数学危机后的现代数学时，却忽视了最汹涌也最富有影响力的思潮——结构主义。布尔巴基学派是结构主义的领军人物，但克莱因仅寥寥提到他们几次，而且并没有详述他们的数学基础观点。然而那正是现代许多数学家对数学基础的看法，也是数学家仍对数学前景十分乐观的原因之一。

一言以蔽之，结构主义认为，数学就是研究抽象结构及其之间关系的学科。

什么是抽象结构？要理解这一点，我们要先破除根深蒂固的信念，用完全抽象的眼光看数学。举个例子，从小老师就教我们，自然数是可以数出来的数，每个自然数上都附有不同的性质。人们会说，“4”就是一个合数，这就是它自己的性质，与别的数没有关系。

但真的是这样吗？为什么我们会说“4”是合数？那是因为有一个比它小但不是1的自然数“2”可以整除它。也就是说，我们在意的“4是合数”这个性质，实际上反映的是其他自然数和它之间的关系。换句话说，“4”这个数并不重要，重要的是它与其他数有什么关系。“4”只是一个方便我们称呼的标签，但它的内涵并不是这个标签，而是标签背后没有任何特殊之处的实体，以及它与其他实体之间的关系。如果撇除一切关系的话，每一个数除了标签不同都无法区分。每个数之所以不一样，是因为它们跟其他数有着各异的关系网络。

这种看法，在其他更复杂的数学中也适用。我们讨论某个数学对象，实际上讨论的是它与其他数学对象的关系。而如果将拥有特定关系的数学对象聚成一组，我们就得到了一个数学结构。比如说，所有整数再加上它们之间加法和乘法的关系，就组成了一个叫做“整数环”的数学结构。数学结构本身又可以作为数学对象，与其他数学结构一起形成更高阶的数学结构。不同的数学结构还可以出现在同一组数学对象上，比如说整数除了有整数环这个代数结构以外，还有所谓的“序结构”，让我们可以比较整数之间的大小。由此，不同的数学结构之间也就产生了更多的联系。数学的任务，就是研究这样层层叠叠、互相勾连的数学结构。

那么，数学是如何研究这些结构的呢？我们当然可以深入研究每个结构的性质，就像欧氏几何实际上研究的就是平面这个数学结构；也可以比较相似的结构，找出它们的共性；还可以研究结构的某个性质到底来源于结构的什么方面，尝试将相似的性质推广到相似的结构上。这些方向分别对应着克莱因所说的：数学的专门化、抽象化和一般化。

但除了克莱因所说的这三个方向以外，还有更重要的方向，就是尝试在结构中寻找新的结构，和寻找迥然相异的结构之间的联系。可以说，近现代大部分的数学突破都可以归于这个类别。名噪一时的庞加莱猜想的证明，正是源于佩雷尔曼确认了三维流形这个拓扑结构与它上面某些微分结构之间的关系。而陶哲轩之所以被认为是大数学家，也是因为他巧妙地发现了组合、数论、代数这些领域中林林总总看似毫不相干的结构之间的紧密联系，由此得以利用不同领域的方法来解决难题。

这种结构主义的观点也为数学家们带来了莫大的自由。非欧几何的出现，使数学家明白了几何不止一种。新几何的探索就开始了，涌现出了微分几何甚至代数几何这些如今枝繁叶茂的分支，而欧氏几何本身几乎走到了发展的尽头。同样，摆脱了“必须描述现实世界”的束缚，现代数学才焕发出全新的活力。数学家构造新结构的灵感来源，除了现实以外，还多出了类比和想象，由此产生的新结构，更是层出不穷。

当然，这种自由并不意味着与现实脱节。现实如此复杂，其中暗藏的结构至今仍未被揭示于万一。现代数学的自由发展也催生了对各种各样结构的探索，其中有一些看似无比抽象的结构，却与现实有着紧密的关联。最近，法国青年数学家皮埃尔-路易·吉斯卡尔在研究图上的路径时，发现这些路径之间的关系与整数有相似之处。通过这个类比，他将数论中的筛法应用到路径的计数上，得到了不少成果，甚至解决了量子化学中的一些问题。被克莱因认为与现实最脱节的数论，却能找到最实际的应用。就连抽象至极的数理逻辑，随着计算机的出现，也在编程语言设计中找到了一席之地。所有这些应用，都是因为我们找到了现实中的数学结构。

现实方方面面的结构是什么，我们一时无法摸清。但正因为现代数学的自由，数学家可以研究更抽象更一般化的结构。而一旦我们发现现实的某个侧面有着已经研究过的结构，就能立刻应用相应的结论。数学结构中最重要的是关系。至于标签是什么，是整数还是顶点又或者是分子，根本无关紧要。

正因为数学结构什么都不是，所以它可以什么都是。这就是数学的力量。

如果存在矛盾……

人们可能会说，克莱因指出的问题仍然存在，数学仍然没有一个在逻辑上甚至在形而上学上确定无误的基础。目前数学界接受公理集合论，也只是一个共识，但却无法证明其中没有矛盾。危机的可能性仍然存在。

哥德尔不完备性定理告诉我们，无法证明算术以至于数学没有矛盾。但这个结论的前提是算术本身没有矛盾。而按目前枝繁叶茂的发展，如果数学本身有矛盾，很难想象到现在为止还没有数学家发现。的确我们无法证明没有矛盾，但实践说明矛盾非常不可能存在。这并不能完全排除矛盾的可能性，但将它降低到了一个可以让大部分数学家安心工作的地步。

如果抬杠的话，要是有一天人们发现现代数学的基础——策梅洛-弗兰克公理体系——之中的确存在矛盾，那怎么办？

让我们回到结构主义的理念：在数学中，重要的是结构，而所谓逻辑证明、公理体系，都只是描述这些结构的一种方法。结构本身是没有矛盾的，它就这样存在着。如果我们发现描述它的公理体系出现了矛盾，那是因为描述的方式不正确，而不是因为结构本身有矛盾。公理和证明是我们用以探索数学结构不可或缺的工具，但不是数学的基础。“言者所以在意，得意而忘言。”工具坏了，换一套就可以继续工作；公理系统出问题了，也只需要换一套，把有问题的地方排除掉。目前对数理逻辑的研究，也为这种更换提供了可能性。

毕竟我们研究的是数学，而不是单纯的符号推演。在符号以外，还有我们希望把握的意义。

无尽的创造性

但哥德尔不完备性定理仍然没有排除矛盾的可能性，这不会让数学家如芒在背吗？

正如失去确定性给数学带来了自由，矛盾的可能性实际上赋予了数学无尽的创造性。

对哥德尔不完备性定理更根本的理解是，只要公理体系的表达能力足够强大，那么在其中的真理不等于被证明。这应该被视为公理体系力量的显现，而非弱点。但真理的反面同样不一定能被否定。为了厘清什么命题不能在某个公理体系中确定真假，数学家提出了许多方法，大大发展了数理逻辑。独立于公理体系的命题，也给数学提供了更多的可能性：我们可以将这些命题或者它的反面添加到公理体系中，得到更强大的系统。但即使如此，这些加强过的公理体系仍然有着不能被证明的真理，从而可以继续在不同的方向上加强。这就是矛盾带来的创造性。与之相反，数学家也可以削弱某个公理体系中的公理，从而得到表达能力更弱但更确定的公理体系。许多数学分支其实不需要过于强大的公理体系，研究每个分支实际上需要什么强度的公理体系，这有助于我们更好地理解不同分支的本性。

除了矛盾的存在性以外，克莱因也将许多数理逻辑的结论阐述为数学本身的缺陷。比如说现在本科数理逻辑课上会提到的勒文海姆-斯科伦定理，它证明了任何一阶逻辑的公理体系都有无数的模型，也就是说无法用一阶逻辑完整地刻画某个给定的结构。但在克莱因的眼中，这就成了数学的缺陷，说明公理化方法不可能唯一刻画某个结构。这种理解显然有问题，因为逻辑并不止一阶逻辑一种。比如说自然数，如果利用二阶逻辑的话，就有对应的公理体系可以唯一决定自然数的结构。当然，二阶逻辑也有它的缺点，数学家对其也有争议，但毕竟说明了自然数结构可以用公理化方法刻画。克莱因的批评也就不成立了。更合理的理解是，这些数理逻辑的结论指出的是公理体系的特性，而不是公理体系所描述的数学的缺陷。

就像汉语的时态没有法语精细，这并不说明时间在中国的流动就比在法国模糊。

终极自由

克莱因的观点与现代数学界的观点的相互冲突，让我们想起人类对自身本质的探求。

克莱因希望为数学找到坚实的基础，对他而言那就是与现实的联系，所以他对数学危机深感不安，因为他认为每一次数学危机，都使数学一点点地从现实剥离，最后成为现在的“空中楼阁”。

现代数学界的看法却乐观得多。他们认为，经过每一次数学危机，数学本身都有所得益。先是发现了数学系统并非唯一，然后是掌握了严谨的推理方法，最后得到了超越逻辑本身的视角。对他们而言，越抽象反而越坚实。正因为什么都不是，所以可以什么都是。

这其实也是人类发展的缩影。

古时候人们认为大地是不动的磐石，是宇宙本身。古希腊人首先否定了这个臆想，确立了大地是个球体。但后来人们又认为地球是宇宙的中心，一切星体都围着它转动。哥白尼打破了这个迷思，提出太阳才是中心，也因此遭受迫害。随着天文学不断发展，人们才逐渐认识到，太阳不过是众多恒星中的一颗，并非宇宙中心。而太阳所处的银河系以外，还有无数个星系，银河系并没有任何特殊之处。随着我们对宇宙认识的加深，人类在宇宙中的地位也被逐步废黜。我们不过是星尘。

古时候人们面对自然无能为力，只能将自己的存在的意义交给神仙和上帝，因为无所不能的上帝似乎正是存在意义的坚实基础。直到自然科学的出现，让人们可以在自然面前逐步把握自己的命运，这也逐步动摇了宗教的根基。人们逐渐意识到，存在意义的坚实基础不过是幻梦。先有尼采喊出“上帝已死”，后有萨特明示“存在先于本质”，而人的本质由人的存在与选择所决定。人类就此从上帝夺回决定自身意义的权柄。对于宗教信徒来说，这些可恶的哲学家动摇了人类存在的根基。但对于清醒的人来说，这种丧失其实就意味着终极的自由：你存在的意义就是你自身，你成为什么样的人，取决于你想成为什么样的人。

这也就是数学发展的轨迹。对克莱因来说，数学丧失了确定性这一基础；但对于现代数学来说，这种所谓“基础”，不过是对自由的限制。

数学失去的只是枷锁，获得的却是描绘任何事物的终极自由。