►安德雷·柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），来源：kolmogorov.com

作者 | 潘玉林（麻省理工学院机械系博士生）

责编 | 吕浩然

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上回说到：在柯老邪剑指湍流领域的过程中，一座雄壮的楼阁也随之拔地而起。最终，湍流界的九阴真经——K41理论终成，为后世湍流结构研究奠定了牢不可破的基础。

在科学发展史上，不乏有这样一些理论，它们的光芒绚丽夺目，如一盏明灯，驱散了当世的黑暗，点亮了后世的道路。然而，当你回首来时路，却发现理论的创立过程似乎平凡至极。它们如同萧峰随意挥洒的太祖长拳，杨过大巧似拙的玄铁重剑，看似平淡无奇却又威力无穷。

柯老邪的K41理论也正是如此。他以一个物理假设为起点，以能级串过程为基础，将问题层层肢解，直击湍流的要害。整个过程一气呵成，既无纷扰繁复的数学推导，亦无艰深晦涩的数学证明。是何原因，让一个严谨的数学家敢于做出如此大胆的物理设想呢？

古人云：格物致知。柯老邪对于湍流物理模型的推测首先要归功于他对实验数据分析的数年之功。在专著“数学与力学”中，他这样回忆自己初涉湍流领域时的想法：“我很快便意识到想要建立一套严格的纯数学理论是不可能的。因此根据实验数据的分析来建立一些假想是湍流研究的必经之路。（It soon became clear to me that there was no chance to develop a closed purely mathematical theory. For lack of such a theory it was necessary to use some hypotheses based on the results of treatment of experimental data.）” 柯老邪虽然自己不做实验，却对于收集和分析实验数据乐此不疲。在K41理论建立的三十年后，柯老邪还以暮年之身远航全球，为收集海洋湍流数据不懈努力着。

其次，柯老邪深厚的数学理论功底也不可或缺。今世的大多数流体力学教科书，提及K41理论必称其为量纲分析之典范，如此或可使学生对于2/3律的推导过程有一个直观的了解，却往往忽视了柯老邪基于纳维-斯托克斯方程对于湍流场分析的理论之功。提及这一时期莫斯科学派对湍流的理论分析，有两项工作不得不谈。

其一为奥布科夫于1941同年所发表的关于湍流能量谱的文章。基于柯老邪前一年对概率论中随机过程能量谱的阐述，奥布科夫从纳维-斯托克斯方程出发建立了湍流能量谱的半经验式方程。此方程描述了这样的物理过程：湍流能量在某一尺度上随时间的变化与不同尺度涡结构相互作用以及小尺度粘性耗散有关。

通过求解此方程，奥布科夫得到了与2/3标度律所等价的湍流能量谱表述：E(k)～k^-5/3  （k为波数，即尺度的倒数）。这两篇文章于1941年同时发表。或许由于柯老邪的方法更为简洁明晰且适用度更为广泛，世人对其更为青睐，因而忽视了奥布科夫的贡献。但柯老邪本人却对奥布科夫的工作十分尊敬，言必称K41理论是他与奥布科夫共同所创，是以应称之为KO41理论更为妥帖。

其二为米林斯奇科夫于1941年所得到的对于湍流脉动速度二元关联函数的控制方程。这项工作推导了脉动速度关联函数的逐级表达方式，并通过四元函数与二元函数的联系使控制方程闭合。其方法可视为后世计算机湍流模拟的鼻祖之一，功莫大焉。

而在同时代的中国，一位物理学家于1940年在“中国物理学报”上发表了题为“论雷诺求似应力的方法的推广和湍流的性质”的文章，其方法与米林斯奇科夫有着异曲同工之妙。此人就是周培源先生，这也正是他被尊为“湍流模拟之父”的原因。

►周培源（1902 - 1993）

一招平淡无奇的量纲分析背后竟然蕴涵着如此深厚的理论与实验之功。所谓重剑无锋，大巧不工，剑招的威力并非在于剑锋，而在于用剑之人的修为。唯有修为至深之人，方能化繁为简，以拙胜巧。

更为有趣的是，据柯老邪弟子亚格洛姆回忆，米林斯奇科夫并非随机场领域的专家。亚格洛姆因此推断1941年关于湍流脉动速度关联函数的文章一定是柯老邪亲力亲为的结果。米林斯奇科夫同时期的另一名弟子谢尔盖·福明（Sergei Fomin）则证实了亚格洛姆的这一推测。无独有偶，类似的事情也发生在亚格洛姆本人身上。1956年，柯老邪在一篇有关信息论的文章中宣称其引入的某方程乃亚格洛姆之首创。而亚格洛姆本人却对此毫不知情，直至看到柯老邪的文章后才意识到这个方程的存在。当柯老邪被问及此事时，他含糊地回答说：自己的想法是在跟亚格洛姆某次谈话之后产生的，因此这个方程应该归功于亚格洛姆。

诸如此类的莫名之喜在柯老邪的弟子中比比皆是。而对于柯老邪，或许其真正伟大的力量来源于心底的无私。

呜呼哀哉，纵观当今天下，虚誉欺人而利欲熏心者有之，不学无术而摇唇鼓舌者有之，百无一能而大言不惭者有之，粗鄙龌龊而畏强凌弱者有之。江湖之上，投器使毒者众多，内修外敛者罕有，实可叹大师凋零，人心不古也。

如果从一个很大的时间尺度上看历史，似乎一切都按部就班，循规蹈矩。而如果身处某一时代的小尺度中，却很难不被时代的任何异动所惊扰，仿佛一切都是这个时代跟人类开的一个个玩笑。物理学的发展亦是如此，在山重水复中柳暗花明，在一片坦途上却又枝节横生。

我们看到，在湍流这片混沌未开的乱世江湖中，柯老邪凭借一招量纲分析独创K41理论，剑携万钧之势，隐隐有包举宇内，席卷六合，并吞八荒之意。天下学派云集响应，似乎一统江湖即日可期。在如此大好形势之下，谁又能料想，前路依然荆棘密布。而这一切困难险阻，都来自于K41理论创立之初的一点隐忧。

1942年苏联科学院的一次研讨会上，柯老邪进行了一次K41理论的专题报告。到场的听众中，有一位显得卓尔不群。他身材瘦削，已显灰白的头发蓬松凌乱，然而双目如炬，似能洞悉一切。

此人名为列夫·朗道（Lev Landau），乃当世苏联最杰出的理论物理学家。以修为之全面而论，朗道在物理学上的造诣或许并不输于柯老邪在数学上的广博。

►列夫·朗道 (1908-1968)

两位绝世高手之间自是不消多言，柯老邪寥寥数语之间朗道便已尽得其精髓。饶是朗道平生为人狂傲，素来言辞尖锐，也不由得暗自称赞K41理论之精妙。他评论道：“柯尔莫哥洛夫是第一个正确理解了湍流小尺度结构的人。（Kolmogorov was the first to provide a correct understanding of the local structure of turbulent flow.）”

会后，K41理论在朗道脑海中久久挥之不去。他将其与自己平生所学一一印证，自觉妙用无穷。假以时日，以此为基础解决湍流问题也未必不能实现。

翌年，朗道推导出有外流体所包裹的层流射流的理论解，并开始考虑将K41理论引入到湍流射流的研究中。然而这一次，他却似乎发现了一些不妥之处。

如果将射流轴心视为湍流，外流体部分视为层流，那么两部分之间必然有一块湍流与层流交替存在的区域。由于动能耗散率ε与湍流强度相关，在此区域中，ε必然不会像K41理论中所描述的随时间（和空间）不变，而是一定会随时间（和空间）有所起伏（在层流区为零，在湍流区为正值）。此时，柯老邪的2/3律公式该如何运用呢？如果将公式中的ε由瞬时值改为在时间上的平均值〈ε〉的话，似乎也并无不妥……

且慢！此处确有不妥！

朗道在电光火石之间的顿悟从根本上粉碎了K41理论作为湍流普适理论的可能性。

在1944年出版的由朗道及其学生撰写的“理论物理教程（Course of Theoretical Physics）”第六卷“流体力学（Fluid Mechanics）”中，朗道将其想法加以总结并留下了这样一段耐人寻味的文字：

“很多学者们或许认为得到一个普适于任何湍流的公式从原则上讲是可能的，这个公式可以描述小于尺度L的结构函数S2(l)=〈δu(l)²〉 。然而，由于如下论证，这类公式并不可能存在：δu(l)²的瞬时值或许可以普适性的表述为动能耗散率ε瞬时值的函数。可是，将以上表述进行时间平均后会依赖于ε在大时间尺度（对应于大涡结构）上的变化，而这个变化对于不同的流动是不一样的。因此，时间平均的结果不可能是普适性的。(It might be thought that the possibility exists in principle of obtaining a universal formula, applicable to any turbulent flow, which should give〈δu(l)²〉for all distances l small compared with L. In fact, however, there can be no such formula, as follows from the following argument. The instantaneous value of δu(l)² might in principle be expressed in a universal way via the energy dissipation ε at that very moment. However, averaging these expressions is dependent on the variation of ε over times of large-scale motions (scale L), and this variation is different for different specific flows. Therefore, the result of the averaging cannot be universal.)”

让我们为朗道这招绝妙的破剑式静默一分钟。

朗道的核心观点是这样的：由于ε随时间变化，因此我们只能寻找时均意义上的普适公式。即使我们假设δu(l)²=Cε^2/3l^2/3 律在每一瞬时是普适性的，但由于δu(l)²与ε的非线性关系，将瞬时公式进行时间平均后并无法表述成〈δu(l)²〉=C〈ε〉^2/3l^2/3 ，而将会依赖于ε随时间的变化。由于ε的变化对于不同流动是不同的，因此时均的表述不可能是普适的。

例如，27^2/3=9，8^2/3=4，但((27+8)/2)^2/3=6.7而不等于4和9的平均值 。

我们再次回到“武林交通部”的例子，将朗道的论证与之做一类比。

在 “二十三省江湖人士不得闯黄灯”的禁令通达天下之后的一年内，武林交通部高层三易其令。首先，武林交通部颁布了“鲁苏湘川四省人士可以闯黄灯”的政令，三分之一年后又出台了“辽吉浙晋皖五省人士亦可以闯黄灯”的政令，最后的三分之一年干脆决定“其余十四省人士也可以闯黄灯”。

此一年中，相应的省市区级部门分别按需整改机构，以保证三条新政令在其分别的施政时间内畅通无阻并持续不断地传递给相应的江湖人士。这三条新政令的传递均只需要一部分省市区级交通部门，相对于整个网络系统，它们的机构规模分别占据4/23, 5/23和14/23的比例。而且，三条政令的传递率也截然不同。对于规模较庞大的系统（如14/23的部分），其传递率也较大，反之亦然。如果按照δu(l)2=Cε^2/3l^2/3将它们量化，传递率ε则应正比于其机构规模的3/2次方，即(4/23)^3/2=0.07，(5/23)^3/2=0.10和(14/23)^3/2=0.47 。

年终总结大会上，武林交通部高层首先对过去一年的施政方针进行了总结。他们将三条政令的内容进行了平均，并声称：年中每一时段我们不断下达着允许(4/23+5/23+14/23)/3=33%江湖人士闯黄灯的号令。随后，各省市区级交通部门也对他们传递上级方针的效果做出了总结。在对三部分传递率进行平均之后，他们声称：我们的平均信息传递率为(0.07+0.10+0.47)/3=0.21。此时，问题来了，33%^3/2 =0.19，而不等于0.21。K41理论并不能用于平均结果。

一言以蔽之，武林交通部的朝令夕改使得各级交通部门疲于奔命，虽然在每一时刻都按照K41理论传递着信息，年终总结时却发现其平均效果并不符合K41理论的描述。

而究其原因，K41理论对平均结果的失效是由于δu(l)²并非正比于ε。因此，即使两者瞬时值满足K41关系，其平均值却未必满足。

朗道的这一论证如K41理论本身一样，简洁明了却直击要害。它并不深究湍流更深层次的物理性质，而是剑走偏锋，以动能耗散率随时间变化的推测为基础，仅辅以初等数学的分析方法，便如釜底抽薪般地将K41理论的普适性瓦解于无形。

然而，这个有着瑕疵的K41理论所描述的2/3律仍然被一次次实验所重复着。相对于尖酸刻薄的朗道，自然界仿佛更青睐挥毫洒脱的柯老邪。这又是为什么呢？

欲知后事如何，且听下回分解。

本文首发于《MIT科研范》，《知识分子》获得作者授权刊发，内容略有修订。