►安德雷·柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），来源：kolmogorov.com

作者 | 潘玉林（麻省理工学院机械系博士生）

责编 | 吕浩然

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上回说到：席卷六合、美玉微瑕的K41理论被朗道抓住破绽，便如釜底抽薪般地将K41理论的普适性瓦解于无形。然而，这个有着瑕疵的K41理论所描述的2/3律仍然被一次次实验所重复着。这又是为什么呢？

要回答这个问题，我们需要从柯老邪2/3律背后的物理深意讲起。柯老邪当年以一招量纲分析，将二阶结构函数S₂(l) 表示为尺度l的幂函数，实际上暗示着湍流场的一个重要特性，即尺度不变性。

何为尺度不变性？假设我们有一个形如y=x^p 的幂函数。在区间(x,2x)内，y从x^p 变化至(2x)^p 。如果我们将区间尺度扩大a倍，变为(ax,2ax)，那么y则会从a^px^p ,变化至a^p(2x)^p 。除了a^p这个因子外，后者中y的变化形式与前者相同，皆扩大了2^p 倍。因此，观察者无论从哪个尺度上看这个函数，它都是相似的。

►尺度不变性函数例子 ，来源：wiki

我们再以中国南海海岸线试举一例。如果我们从下图所示的三个完全不同的尺度来观察海岸线，我们会发现它们的特征都是相似的。如果不借助地名标注，我们无法分辨自己身处哪一尺度。

►中国南海海岸线，来源：豆瓣文章《继续分形的讨论》

柯老邪的2/3律则意味着，湍流场也有着尺度不变性。在η<<l<<L的范围内，无论从哪个尺度观察湍流场，其统计量都是相似的。这进而意味着，湍流场中所有的统计量都可以通过量纲分析表示为尺度l的幂函数形式。

这也的确是柯老邪在1941年所推测的。他不仅将二阶结构函数S₂(l)=〈δu(l)²〉 写为l的幂函数形式，更是通过量纲分析写出了任意n阶结构函数S_n(l)=〈δu(l)ⁿ〉 的通用标度律形式S_n(l)～l^n/3 。

后世的实验证明，尽管对于n较小的低阶统计数据，柯老邪的公式描述相对准确，但对于n较大时的高阶统计数据，朗道论证的威力就会显现出来，实验数据与柯老邪的公式差异明显。这个差异，在数学上被称为“标度奇异性”，它从根本上打破了尺度不变性这一K41理论的立身之所。

而追根溯源，这一切皆始于朗道所提出的耗散率ε随时间变化这一特性。各学派继而研究发现，ε的变化在时间与空间上都普遍存在，而且不仅存在于朗道所说的大尺度，在小尺度上更有愈演愈烈之势。这一特性，被称为湍流之“间歇性”，也成为了湍流的基本性质之一。

►湍流涡结构在不同尺度空间分布不均的间歇性(Kaneda & Ishihara, 2006)。

如何在间歇性存在的前提下建立描述湍流的定量普适物理模型，成为了当今湍流理论研究之重心。自K41理论与朗道论证以来，此问题已现百家争鸣之势，甚至柯老邪本人也于1961年试图修正K41理论将间歇性纳入体系之中。其它诸如拉格朗日方法，重整化群理论，分形几何学，混沌理论等等众派武学也纷纷现身江湖，一试身手。然而众说纷纭，莫衷一是，令世人广为信服的理论尚未出现，湍流研究也仍处于群雄纷争的探索之中。

K41理论瑕疵既存，其一统江湖之势便无从谈起，但这丝毫没有动摇它在湍流史上的地位。它对于湍流动能的描述依然精准有效，其应用亦是绚丽多彩。而它的一点瑕疵则指引着后世的物理学家们继续探究着湍流的本质与奥秘。正如十九世纪末物理学大厦的两朵“乌云”引领了相对论与量子力学的革命，我们今天仍在等待着湍流界的“相对论”和“量子力学”的出现。

在湍流这个充满争议的物理领域中，似乎很难有人将数学上的精确解与之相联系。然而，这一点在下面这位主角出场后成为了可能。他以弱非线性为前提，为柯老邪的K41理论建立了完整的数学体系，并将其扩展至任意波系之中。

此人名为维拉蒂米尔·扎克哈洛夫(Vladimir Zakharov)。作为柯老邪湍流理论的衣钵传人，我们称他为扎小邪。

维拉蒂米尔·扎克哈洛夫，photo by:Dan Quinn.

扎小邪研究兴趣之广泛深受柯老邪与朗道两派影响。在他所涉足的等离子体物理、流体力学、海洋学、地球物理、固体物理、光学、广义相对论等诸多领域中，许多基础方程式皆以他命名。他执掌朗道理论物理研究所，其学派弟子遍及天下，威名远播。他又兼修诗赋，其诗集英文译本“云之天堂(The Paradise for Clouds)”于2009年在英国出版后大获好评。

此等人物，实难将其与问题少年联系起来。而事实上，扎小邪之少年行事，已颇有柯老邪桀骜不驯之风范。他早年就读于莫斯科动力学院，却因打架被学校开除。幸得朗道弟子罗尔德·萨格蒂夫(Roald Sagdeev)慧眼识珠，将扎小邪收为门人。在物理学的新世界中，扎小邪将过去的问题抛之脑后，迎接他的将是一段璀璨多彩的奇幻旅程。

扎小邪随萨格蒂夫攻读博士期间，就发现声波系统似乎也有着柯老邪K41理论中的湍流性质，即声场能量从长波传向短波，其能量谱与波数呈幂函数关系（前文中奥布科夫所用的K41理论的等价形式）。更为美妙的是，以弱非线性为前提，这一切都可以从声波动力学方程中严格推导出来。

扎小邪继而将他所悟出的理论体系用于水波研究中，并再获成功。水波能量谱不仅遵循幂函数关系，还有着更为奇妙的现象。能量不仅可以像K41理论描述的那样从长波传向短波，也可以从短波传向长波。这在随后也被物理实验及数值模拟所证实，被称为反向能级串过程。数学与物理相互印证，美妙如斯。

既为朗道之再传弟子，扎小邪这套理论体系也深深打上了朗道学派的烙印。而他精研柯老邪及其门生的理论著作，在湍流上的理论功底也非比寻常。因此，扎小邪有此成就，实乃其兼修两派绝学之功。如果我们将其理论体系加以总结，此特点亦可不言自明。对于任意一类波系的动力学方程，扎小邪的处理如下：

· 将动力学方程写为经典力学中的汉密尔顿形式 – 朗道学派之传统；

· 以弱非线性假设为前提，利用摄动理论剔除方程高阶非线性项 – 朗道学派之传统；

· 推导随机场方程，并通过多元关联函数与二元关联函数的联系将方程闭合 – 米林斯奇科夫（周培源）的方法；

· 建立动能方程(Kinetic Equation)  – 奥布科夫的体系；

· 从动能方程中找到能量谱幂函数形式的稳定解 – 柯老邪K41理论之严格数学解，乃扎小邪之首创。

这个能量谱的理论解，被称为柯尔莫哥洛夫–扎克哈洛夫能量谱；这整个体系，被称为弱湍流（或波湍流）体系。扎小邪也因对湍流理论的贡献获得了2003年的狄拉克奖章（理论物理学最高荣誉）。

我们看到，扎小邪以弱非线性假设为前提，忽略湍流间歇性的影响，为柯老邪的K41理论创立了严格的数学体系。弱湍流理论运用于扎小邪所涉足的物理领域，皆取得了非凡的成就。时至今日，柯尔莫哥洛夫–扎克哈洛夫能量谱已存在于等离子体物理、水波、磁流体、声学、光学等诸多领域，并渐渐自成一派武学，为江湖众派弟子所推崇。柯老邪当年潜心所创K41理论之幂函数形式能量谱，竟为如此多的自然现象所遵循，不得不感叹天道之雄奇庄伟也。

有九阴总纲为证。天之道，损有余而补不足，是故潮起浪涌，皆循其形，星辰轨动，尽依其理。流动百态，造化万物，不谋而能谱自同，勿约而级串斯契，此诚天机之博奥也。

此时，若我们再次回顾梵高之画作，人脑思维之湍流一说似乎也并非无稽之谈。如能建立人类思维的控制方程，以扎小邪之理论作为指导，得到思维湍流的K41理论也并非全无可能。

当然，这一切都还只是纸上空谈，行之何其难也。

湍流本质的研究亦是如此。在以K41理论为基础的这篇武学巨著中，柯老邪、周培源、朗道、扎小邪等必然位列其中，永载史册。然而，这篇巨著尚未完结，K41理论中的瑕疵仍是众多物理学家们的心结，弱湍流理论也带来了很多新的问题。江山代有才人出，这些湍流界遗留的问题定会有人解决，我们也期待着这部鸿篇巨制最终完成的一天。

1943年柯老邪曾这样说过：“二十年内没有人会知道我们国家究竟发生了什么。(In twenty years no one will know what actually happened in our country.)”  在这段最为黑暗的岁月里，一个战火摧残，恐怖弥漫，封闭专制，人性压抑，饥寒交迫的国度却成为了数学与物理大师们的沃土。这片土地上的各个学派中，学者们对于自然科学的追寻源自心底对于真理的热爱。

他们大多精于思考，勤于交流，对相互间的研究了如指掌（这或许也造成了苏联学者们不善于向外界讲述他们的成果）。对于外界所流传的苏联学者常以激进的方式解决学术争端的说法，我们必须认识到这样一点：在一个充斥着政治谎言的环境中，科学是这些学者们唯一的净土。

今天，我们的环境更加开明，人心更加宽容。在这个时代，是否还会有新的“柯老邪”出现呢？

全文完

本文首发于《MIT科研范》，《知识分子》获得作者授权刊发，内容略有修订。

制版编辑：吕浩然