►阿诺德·索末菲 (1868-1951)

撰文 | 潘玉林（麻省理工学院机械系博士生）

责编 | 吕浩然

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上回说道……

索末菲个人的挑战，宣告失败。

面对失败，索末菲并不甘心让这个问题沉寂下去，毕竟，他执掌的慕尼黑学派人才济济。

于是，他把问题交给了自己门下的众多弟子们。前两位担此重任的学生叫做路德维希·霍普夫(Ludwig Hopf) 和弗里茨·诺特 (Fritz Noether)。此二人皆出身于学术世家：前者的表弟海因茨·霍普夫 (Heinz Hopf)可谓二十世纪最杰出的数学家之一，而后者的姐姐艾米·诺特 (Emmy Noether) 更是被爱因斯坦称为数学史上最重要的女性。

尽管家学渊源且师出名门，这两人并没能在流动稳定性的问题上取得太大的进展。甚至，他们不约而同的认为，由奥尔-索末菲方程(Orr-Sommerfeld)计算出来的平行流动在任何微扰动下都是稳定的。因此，必须寻找新的数学模型来描述湍流的发生。

►左：路德维希·霍普夫 (1884-1939)、右：弗里茨·诺特 (1884-1941)

这个结论无疑为当时本就黯淡的前景又蒙上了一层黑纱。可谓一波未平、一波又起。

索末菲决定另觅人选。环顾身边众多弟子，刚入门的海森堡无疑是最为根骨精奇、天赋过人的一个。在接下来的几年里，索末菲将自己毕生所学倾囊相授，唯望他能不负所托，光大师门。

索末菲没有看错。在两年后访学哥廷根的日子里，年仅21岁的海森堡初出茅庐便令人印象深刻：马克思·波恩和路德维希·普朗特 (Lugwig Prandtl) 对他刮目相看；尼尔斯·玻尔更是对他抛出橄榄枝，邀他毕业后赴哥本哈根共图伟业。

海森堡也的确没有让这些人失望，数年之后，他将携绝学矩阵力学和测不准原理重出江湖，执武林之牛耳。然而在这之前，他必须完成博士答辩，完成他的老师索末菲所托：那个已困扰了整个学派20余年的问题。

►维尔纳·海森堡 (1901-1976)

之前我们说过，从数学上解决奥尔-索末菲方程所描述的流动稳定性问题仅需两步。然而，海森堡在第一步就遇到了困难。尽管他用巧妙的小参数摄动方法找出了方程的渐进解，但由于这些方法所引出的奇点问题，以及解的收敛性问题却让他顾此失彼，焦头烂额。

当时的海森堡，对数学的运用并不像他后来那般纯熟，因此，尽管他的这些解后来被证明是正确的，但他当时却未能给出严格的数学论证。对第一步中解的数学性质的理解不足直接导致了第二步中处理特征方程难度加大。眼看答辩期限将至，海森堡还是一筹莫展。在数学上的捉襟见肘使得海森堡不得不另觅他径：凭借自己的物理直觉，海森堡拼凑出了一个临界稳定雷诺数的解答，在答辩前夕如期上交了论文。

在老师索末菲的庇佑下，这篇论文顺利为海森堡赢得了博士学位。但由于数学分析上的不足，尤其是对于临界稳定区域太过粗略的近似，海森堡这个不严谨的解答并未得到物理学界的认可。

海森堡终究还是失败了，棋差一招，功亏一篑，并非招数不精，实乃内力不足。

索末菲终于心灰意冷了。在一次慕尼黑大学物理系教员会议上，他一脸无奈地说道：“我本不该再将如此难的题目交给我的学生作为博士课题的。”(“I could not have suggested a theme of such difficulty for a doctoral dissertation to another of my pupils.”) 

索末菲学派对流动稳定性的挑战以失败告终，而湍流问题则成了索末菲一生的纠葛。科学巨匠西奥多·冯·卡门(Theodore von Karman, 钱学森的导师) 在自传中记录了这样一段往事：“阿诺德·索末菲，这位著名的德国理论物理学家，曾经告诉我，在他死前，他希望能够理解两种现象—量子力学和湍流。我相信他更接近于理解引导了现代物理学发展的量子理论，而对湍流却还知之甚少。”(“Arnold Sommerfeld, the noted German theoretical physicist of the 1920s, once told me, for instance, that before he died he would like to understand two phenomena—quantum mechanics and turbulence. I believe he was somewhat nearer to an understanding of the quantum, the discovery that led to modern physics, but no closer to the meaning of turbulence. ”)

这段话的另一个版本来自海森堡：“见到上帝时我想问他两个问题：为什么会有相对论？为什么会有湍流？我相信他对于第一个问题一定会有答案。”(“When I meet God, I am going to ask him two questions: Why relativity? And why turbulence? I really believe he will have an answer for the first.”) 但出处已不可考。

我们回到海森堡的博士论文。尽管他未能完整地解决问题，但这篇论文在当时无疑是对流动稳定性问题的一项具有开创性的最高水平研究。印度裔物理大师苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar) 的评价或许最为公正：“尽管海森堡引入了诸多限制和近似，他对奥尔-索末菲方程的处理无疑对所有后续工作有着建设性的指导。”(“In spite of the limitations and approximations which Heisenberg used ... his treatment of the Orr-Sommerfeld equation has had a major impact on all subsequent developments.”) 

然而， 海森堡的失败让这个问题沉寂了二十年，物理学家们纷纷知难而退，无人再敢越雷池一步。

二十年后，在遥远的加州理工学院，一名来自中国的博士生向他的老师冯·卡门提交了他的博士论文。这个博士生叫林家翘，论文的题目是“论湍流的形成”(“On the development of turbulence”)。文中，林家翘用更为严谨的数学方法得到了奥尔-索末菲方程的解，并严格论证了其收敛性。以此为基础，林家翘又用精妙的渐进方法进一步解出了特征方程，计算出了对于抛物线速度剖面的层流的临界雷诺数在5300左右。

整个过程丝丝入扣，巧夺天工。

►林家翘 (1916-2013)

此文一出，江湖哗然，天下震惊。赞许声、质疑声接踵而至。为平息纷争，在冯·卡门的好友约翰·冯·诺依曼 (John von Neumann) 的建议下，当时在哥伦比亚大学任教的路维林·托马斯 (Llewellyn Thomas) 利用刚刚兴起的电子计算机验证了林家翘的解法，并将这个临界雷诺数最终定格在5772.2。

这一年已是1953年，距离雷诺的实验已有近一个世纪之久。这个世纪难题终告破解，林家翘的解法也成为了求解这类高阶微分方程的典范。天下太平，四海宾服。

令人难以置信的是，林家翘的这个通过严格数学方法得来的不稳定解，和海森堡当年根据物理直觉的推测并无大异，定性相符。为此，海森堡在给老师索末菲的信中，不无得意的写道：“我愉快地得知我博士论文的大部分内容依然是基本正确的。很明显，流体力学专家们现在已经同意抛物线速度剖面的流动的确是不稳定的。这正是我当年所声明的，而且我对不稳定区域的计算也是相当正确的。来自中国的科学家林家翘得到了同样的结果。”(“I was amused to find that evidently the main content of my dissertation was still all right. In particular, the specialist on hydrodynamics now apparently agree that the parabolic flow profile is indeed instable, as I had stated at that time, and that also my calculation of the region of instability was essentially correct. The same has been found in America by the Chinese scientist Lin.”) 

我们不得不由衷地佩服海森堡天才的物理直觉。在他后来致力于量子力学领域的日子里，还会有几次短暂地回归湍流领域的研究，但这些都是后话了。

对于索末菲学派的这段历史，网上流传的版本多有演义和夸张之嫌。本文旨在真实和完整地还原这段往事。尽管查阅了不少资料，但要将拙作呈于众多专家面前，我仍不免心怀惴惴。如果能让流体力学专业的同学们从文中获得一些启发，则我不胜荣幸。而对于其他专业的读者们，我也希望你们能够感受到故事的精彩，体会到这门经典学科发展的不易。

为了使科学不显得枯燥乏味，我尽量把语言写的轻松诙谐，不去涉及太多的数学讲解，但同时也争取最大限度地遵循史实和科学。

然而由于文字功力有限，有时不得不在故事的流畅性和严谨性上做出一定的取舍。比如，索末菲在罗马会议的文章中第一次推出的方程并非上文中列出的形式，而是对于线性速度剖面的特殊处理；海森堡的失败也并未让此类问题的研究完全“沉寂”二十年——1929年沃尔特·托米恩 (Walter Tollmien) 发表的关于边界层稳定性的研究与海森堡的方法一脉相承。

本文虽名为“索末菲学派那些事儿”，其实并未包含索末菲学派对于流体力学的所有重大贡献。例如，索末菲大获成功的“润滑理论”、海森堡论文第二部分中对于完全发展湍流的研究以及他后来对于各向同性湍流的阐释都未列入文中。

最后，谨以此文纪念林家翘先生诞辰100周年！

本文首发于《MIT科研范》，《知识分子》获得作者授权刊发，内容略作编辑。点击查看上篇《84次获提名，诺奖界无冕之王搅动流体江湖风云（上）》。