杨振宁先生，图源：casad.cas.cn

撰文 | 杨振宁   施郁

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许宝騄

杨振宁：我在不同的地方，在不同的文章里，讲我在西南联大的学习的经历。可是其中有两个人对我有很大的影响，过去没有特别讲。

在西南联大，当然, 吴大猷先生引导我到对称性这个领域，王竹溪先生引导我到统计力学。我当然念过很多课，多半对我没有多大的真正的影响。可是有两位对我特别有重要影响的老师。

一个是叫做许宝騄。你知道这个人吗？

施郁：数学家，研究数理统计。

杨振宁：数理统计。他的姐姐是俞平伯的夫人，而俞平伯是俞樾的曾孙 [注1]。俞樾是清朝末年的时候的大文学家。你如果到苏州，可以看到 “夜半钟声到客船” 几个字，那就是他写的。俞平伯是清华的教授，我很认识，他的儿子跟女儿都跟我在小学同学。

这个许宝騄呢 [注2]，他的年纪是跟陈省身先生差不多，就是比我大十岁的样子，然后他到英国去，那个时候是数理统计刚刚开始的时候，他在那边学得非常成功，所以他回到西南联大的时候，西南联大数学系就有三个非常杰出、后来都有大成就的数学家，就是华罗庚、陈省身跟许宝騄，所以那个时候大家就知道了，他们三个人是世界级的。

他开了这个数理统计的课，我没有选，我去旁听。这个旁听对我有很大的作用。为什么呢？因为我记得，他第一学期头一半呢，等于是讲矩阵理论，他的这个矩阵理论讲得非常之正式，而且他这个讲法就是：命题，证明；命题，证明。就是写得非常清楚。而且他的命题常常是包罗很多东西的，比如说是对角化，比如说是一个矩阵，它的本征值，厄密的矩阵, 有本征值；不厄密的矩阵,有本征值。厄密的矩阵能够对角化，不厄密的矩阵能不能对角化，这些他都讲得非常详细 [注3]。所以这个半学期，我对这个矩阵理论，透彻理解了。

这个对于后来念狄拉克的书 [注4]，有极大的帮助，因为狄拉克的书等于就是用这个左矢跟右矢的记号，把那里头表达出来。这个对于我后来理解量子力学，还有理解希尔伯特空间,有非常大的影响，而且呢，他所讲的这个矩阵理论是很深,远比我们平常念量子力学所需要的更深，所以这个对我有很大的帮助。

然后这一学期的第二部分是测度论，关于集合论，测度论，还有勒贝格积分这些东西呢，学得很多。我当时对这个领域很发生兴趣，不过后来没有走进这个领域。所以事实上呢，我只是旁听了一学期，后来我不晓得为什么没有再旁听下去。是不是他后来离开了，我现在不记得了。所以事实上我从他那里是学到了两个领域，而且都学得很透彻，测度论跟这个矩阵理论。可是真正对于数理统计，他还没讲到呢。我后来就没再听下去了，所以我没有走进数理统计。

后来抗战胜利了以后呢，他到美国去，在北卡罗莱纳大学确立了一个系，那个系今天还在，而且今天大家都还公认北卡罗莱纳那个数理统计系是美国数理统计这个领域里头重要的中心之一，所以他在这个领域里头很有地位，我不知道有没有人写过一本他的传。他是没有问题在那个领域，我想在20世纪，假如你要讲四五个最重要的早年的数理统计的带头人，他就是其中的一个。比如说，后来在石溪 [注5] 有一个非常有名的数理统计的教授，我问起他来，他说：“哦，这个许宝騄是我们开山的祖师。”

施郁：您以前提过西南联大学生张景昭。她后来在北大任教 [注6]，与许宝騄邻居。

杨振宁：关于张景昭与许宝騄特殊关系的流言是诬陷。

马仕俊

杨振宁：另外一个对我有非常大影响的是马仕俊。在我的论文选集 [注7] 里头有张照片，你看见过是吧？

施郁：对，而且您和李政道写过一个他的讣告，收入了那本论文选集。

杨振宁：对。我的场论就是跟马先生念的。而且马先生是非常透彻。 

我记得很清楚，场论在1930年前后很混乱。为什么缘故呢？因为一方面有这个巴尔默谱线系，有氢原子。这个氢原子是怎么做出来的呢？是先有一个库伦场，在这库伦场里头就算出来本征值，所以就有巴尔默谱线系，这跟实验符合了。下一步，你怎么算这个跃迁幅呢？这就用对应原理，可是这种办法怎么跟动力学理论联在一起呢？这个当时是非常混乱，其中最重要的一个混乱的原因呢，就是因为你用正则理论把这个拉格朗日量要去量子化的时候,出了一个问题，就是φ，就是规范势A的标量分量，就是A₀。A还有个矢量分量。这个东西没有正则共轭。没有正则共轭，所以阵法大乱。我还记得很清楚，海森堡跟泡利写了一系列非常复杂的很长的文章。我还花了很久的时候去念了，念了以后，还不得要领。

这个问题的解决的人呢，是费米。

而费米的解决方案，我的印象，在战后我做研究生的时候呢，多半的教这个课的人，以及我同辈的研究生呢，都没有学到。可是我在西南联大的时候，马先生就讲了，而且教得很清楚。所以我到芝加哥大学的时候呢，对于量子电动力学怎么从拉格朗日量开始，变成哈密顿量，通过费米这个办法呢，知道得很清楚，这个完全是我从马先生那学到的。

马先生呢，为什么在抗战的期间，抗战初期了解这个理论？因为马先生大概是1940年左右从英国回来的。

这个费米的理论，我记得很清楚，乌仑贝克曾经跟我讲，他说，在1930年附近，没有人真正懂量子电动力学，直到费米理论的文章出来。费米的文章最重要的就是它把这个A₀告诉你怎么消除，消除以后就出了库伦场。这个拉格朗日形式里头，一开始，没有库伦作用，可是后来出来的时候呢，要出库伦作用，这个就是费米的贡献。费米对于这贡献呢，也非常骄傲。所以我在芝加哥大学念书的时候呢，他就曾经把这介绍给他的学生。那么这点呢，我是从马先生那儿学到。

所以我从马先生那儿学到的东西达到了当时场论最前沿。还不止这个，因为它这个非常系统化，某种意义上，他的这个讲义也跟许宝騄有类似的地方，就是非常详细，可是都是表述成清清楚楚的定理。

我记得非常清楚，另外一个从他那儿学到的，很清楚的，就是这个狄拉克方程。

在讨论狄拉克方程是相对论不变的时候，马先生讲得非常清楚，而且使得我对于反对易厄密算符，α跟β，知道得很清楚，而且不止是四个。我不记得是马先生讲的，还是一个练习，或是我自己去做过，总而言之，我就弄得非常清楚，随便多少个这种反对易的厄密矩阵的表示，懂得很清楚。

杨振宁：这个对我有什么决定性的影响呢？就是后来我讲的，Luttinger（洛廷格）告诉我Onsager（翁萨格）和考夫曼Kauffman（考夫曼）那个解，我立刻就懂了，因为当初那个数学的根底已经弄好了，所以一下子就对上去了 [注8]。

所以我昨天晚上想了想。我想，假如要问我，我在西南联大所学到的东西，哪几个人对我影响最大。那我想，就是我以前讲过的，是吴先生跟王先生，还有当然是我跟黄昆、跟张守廉的讨论，不过另外我想特别就是要讲他们两个。别人的课听过很多，都没有什么特别对我有什么影响。

自学数学

杨振宁：那个时候呢，我还记得，因为中国的传统对于数学很崇拜，所以，我记得，我有一个夏天就决定，我要仔细研究一本这么厚的一个英国书，叫做《现代分析》，我觉得是Whittaker（惠特克）和Watson（沃森）写的 [注9]，那个就是把古典的贝塞尔函数,勒让德函数,伽马函数,雅可比函数,讲得非常透彻，而且有很多的练习。我记得那一个暑假，我就下了决心，把那书仔细给念了一遍。我想，我的数学的背景就是受到那个影响。

施郁：您1952年关于伊辛模型的文章用了很多雅可比函数吧？

杨振宁：对，那个用了很多椭圆函数，就从这个《现代分析》书里头学到的。

施郁：戴森称您这篇文章为 “雅可比椭圆函数理论的大师式练习”。 

西南联大时期的教科书

杨振宁：那个时候，在30年代底，40年代的时候，美国的学术远不能跟欧洲比，所以当时我们所用的这个比较高等的书都是英国来的。比如说统计力学，就是几本这么厚的书，是Fowler（富勒）[注10]，还有富勒和Guggenheim（古根海姆）[注11]。

数学，大家都看这本《现代分析》。这个我想你到图书馆去，也一定还有。现在没有人念那些书了。

相反地，美国人写的这个书呢，都比较浅，比如说，我的大一的微积分是姜立夫先生教的，用的那是Osgood（奥斯古德）[注12]。奥斯古德是哈佛的一个教授，奥斯古德的那个微积分的水平呢，就是很浅。

像电学，就是大二的电学呢，是吴有训先生教的，我们用的教科书是Page（佩奇） 和 Adams（亚当斯）[注13]，这又典型地是美国的这种教科书，可是佩奇和亚当斯这个就不能跟金斯的比。金斯有一本 [注14]。

英国的那个传统啊，现在中国也不用了，中国后来都沿用美国的。

施郁：1949年以后先用了很多俄国的书，后来又用很多美国的。 

杨振宁：对。在西南联大的时候，可以这样讲，在本科生时候做的东西是从美国来的，研究生期间呢，是从英国来的。那个时候，像王先生、马仕俊他们都是英国留学回来的。

施郁：是不是本科生用美国教科书是因为那些老师，像吴有训，是从美国回来？ 

杨振宁：对，不过当时美国人不大写高等的教科书，因为到底英国比美国早。西南联大时候，跟我同时做研究生的，还有一位叫做顾震潮，后来他在国内的气象学上，是我这个年纪的人里头最最重要的一位 [注15]。他后来大概是病死掉了。你如果去问气象学的人，他们都知道他是非常重要。

施郁：但是您念过您父亲的老师狄克逊那个书，那是美国的。

杨振宁：对。事实上，美国在这个20世纪初年，数学其实才刚刚开始。它的数论最重要的人就是狄克逊，也可以说是他是代数数论的最后的大师，他写了这么厚的一本书，等于是数论历史 [注16]，这个书你可以翻翻看，因为就是把我父亲所做的那一类的数论都放在里头了。恰巧就是到了狄克逊晚年，就是1930年附近的时候，这个领域做不下去了，而解析数论开始了。它的这个领域的中心就跑到英国去了。 

第一篇论文

施郁：您第一篇论文 [注17] 感谢了一位老师，那位后来在南京大学的数学教授。 

杨振宁：曾远荣。

施郁：您觉得那个反而影响不是很大？ 

杨振宁：那个没有什么，那个等于是，我猜想，像是做了一个练习。那个是我念高等微积分，大一念的微积分，大二念的是高等微积分，高等微积分是曾远荣先生教的，他教了以后呢，我现在模糊记得是做练习的时候，我写了这么一个东西，好多年以后他跟我说，应该寄出去发表，发表在一个不重要的杂志，好像叫做美国……

施郁：美国数学会会刊，现在网上能找到，那天我就找出来了。

杨振宁：它居然发表了，不过我当时就知道，这并没什么重要，这个曾先生后来离开联大了。然后解放以后呢，他就在南京大学 [注18]。所以我七十年代到南京大学，还看见了这位曾先生。

在国外发表的第一篇物理论文

杨振宁：事实上，我到了美国，我最发生兴趣的事情，我还记得。那个时候我的这个硕士论文的一部分，是关于叫做准化学方法,刚刚发表在化学物理杂志 [注19]。我在中国的时候就知道它发表了，可是我没看到，所以我到了美国就去看。我到美国是1945年11月，我还记得天气很冷，我就特别到美国物理学会的办公室，我还记得是在34街，在东河的附近。那个时候美国物理学会的整个的办公室在那儿。所以到那儿以后，就问那个秘书说，我有一篇文章发表在好像是1944年。结果那秘书就帮我去找。果然找出来。所以这是我第一次看见我的物理方面在外国发表的第一篇文章 [注20]。这件事我还记得很清楚。

那篇文章呢，其实还有点道理，为什么缘故呢？那个准化学方法不是我发明的，我觉得是古根海姆。那个时候，搞这个统计力学最多的是在英国。搞得最多的人呢，是富勒。王先生、张宗遂都是富勒的学生。

施郁：狄拉克。

杨振宁：狄拉克也是，因为剑桥那时只有很少的教授。我记得他大概是唯一的理论教授。他是卢瑟福的女婿。他专门写这么很厚的书。 

那个时候是30年代，就是王先生去的时候，最热门的题目就是合金的相变，就用了贝特的方法，后来有古根海姆的这个。

这些方法，你从今天看起来,都是叫做平均场理论。有不同版本的平均场理论。古根海姆有个平均场理论，他给它起了个名字，叫做准化学方法。他这个准化学方法是这样，思想当然在物理上很有趣，可是他的这个版本呢，得出来以后呢，要倒着解一些方程，就是你有一些对称的参数，那么这些参数放进去以后，得出来一组方程，你要算的时候呢，要解这些方程。

结果我发现，你如果用一个勒让德变换，变换了以后呢，就不必解方程了，就直接可以计算出来。所以这个是一个很大的进步 [注21]。

事实上我记得戴森有一篇文章上，还讲了这个。他大概仔细看了这个文章，所以他说，他觉得我擅于用一些数学技巧，把一个复杂的东西给变成简单化，大概那个意思。 

所以我当时对这个文章很在意，就是我刚一到纽约的时候，还没到芝加哥的时候，我当时自己觉得，这个是我最最重要的一个工作。不过后来到了芝加哥以后，虽然梅耶跟他太太都在芝加哥，可是他们已经对统计力学，完全不发生兴趣了 [注22]。 

 注解：

1. 根据郑忠国和杨瑛的《许宝騄先生的青少年时代事——俞润民先生访问记》，俞樾的二女儿是许宝騄的祖母(祖父许佑申)，而许先生的大姐又是俞平伯的妻子，即俞润民的母亲。 

2. 许宝騄1933年从清华毕业，杨振宁的父亲杨武之是他的老师。许宝騄1936年考取赴英庚款公费留学，在英国伦敦大学学院攻读博士学位，1940年回国任教于西南联大，1945年赴美，先后在伯克利加州大学和哥伦比亚大学访问一学期，然后与H.Hotelling一起去了北卡罗莱纳大学，1947年回国，任北京大学教授，1970年逝世。俞平伯和许宝騄中学时代从清朝褚稼轩的著作得知数学游戏“移棋相间法”，后来在西南联大师生中流行。2019年，杨振宁写了《许宝騄和“移棋相间法”》（数学文化，10卷4期，106-108）。

3. 与杨振宁的回忆一致，许宝騄的美国学生回忆：“In was Hsu's insistence on simplicity combined with depth of understanding, clarity without avoidance of difficulties, and above all a deep and obvious but unspoken commitment to the highest goals and standards of scholarship which attracted us to him（许吸引我们的是，对于简单性与理解深度的坚持，而且首先是，对于学术最高目标和标准的深深的、显然但是没有明说的坚守。” (https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hsu/)

4. P. A. M. Dirac, Principles of quantum mechanics.

5. 纽约州立大学石溪（Stony Brook）分校，是杨振宁曾长期任教的大学。

6. 张景昭在西南联大时做过美军翻译，1968年，因为被打成反革命而自杀。

7. C. N. Yang, Selected Papers 1945—1980 With Commentary. W. H. Freeman and Company Publishers, 1983.

8. 这是指1949年，翁萨格的学生考夫曼将翁萨格1944年关于2维伊辛模型的严格解做了简化，其中关键是用到反对易厄密矩阵（B.Kaufman,Phys.Rev.76,1232(1949)）。在此基础上，1951年，杨振宁严格计算了这个模型中的磁化率（C.N.Yang, Phys. Rev. 85, 808（1952）），这是杨振宁做过的最长的计算。杨振宁在1983年的论文集《Selected Papers with Commentary》中曾说，因为熟悉反对易厄密矩阵，立即理解了翁萨格和考夫曼的方法。当时没有说为什么熟悉。

9. E. T. Whittaker, G. N. Watson，A Course of Modern Analysis.通常被称为 Whittaker and Watson（惠特克和沃森）。1902年第一版的作者是惠特克一人，后来的版本是两个人。

10. R. H. Fowler, Statistical mechanics, the theory of the properties of matter in equilibrium, Cambridge University Press. 1929. 2nd edition. 1936. 

11. R.H.Fowler and E.A.Guggenheim，Statistical Thermodynamics. Cambridge University Press, Cambridge，1939.

12. 姜立夫在哈佛大学给奥斯古德当过助教。1934到1936年，奥斯古德从哈佛大学退休后，到北京大学访问，助教正是许宝騄。许宝騄深受奥斯古德影响，精通了矩阵，在分析和代数都有了很好基础。

13. L. Page and N. I. Adams, Principles of electricity, Van Nost Reinhold Press.

14.  J. Jeans, Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge University Press .

15. 顾震潮,1920年9月生于上海,1942年毕业于中央大学,1943至1945年， 在西南联大读清华大学研究生，1945至1947年在中央研究院气象研究所，1947至1950年,留学瑞典斯德哥尔摩大学，1950年起在中科院工作，1976年逝世。

16. Leonard Eugene Dickson,History of the theory of numbers. Vol. I-3. 

17. C. N. Yang, On The Uniqueness of OF Young's Differentials,Bulletin of the American Mathematical Society 50, 373 (1944). 这是杨振宁的第一篇论文，但是是数学论文。

18. 曾远荣，1903生于四川，1927年毕业于清华大学并赴美国留学。1933年获芝加哥大学博士学位。1935年任中央大学教授。1937年起任清华大学教授。1942-1945年任燕京大学客座教授。1945-1950年任四川大学数学系主任。1950年起任南京大学教授。1994年去世。

19. C.N. Yang, A Generalization of the Quasi‐Chemical Method in the Statistical Theory of Superlattices,J. Chem. Phys. 13, 66 (1945).

20. 作为西南联大学生，杨振宁共发表5篇论文，其中两篇发表于国外，也就是本文提到的这两篇，其他3篇发表于Chinese Journal of Physics（中国物理杂志）。第一篇发表在国外的物理论文是总的第三篇论文。

21. 杨振宁这篇文章还引用张宗燧在剑桥写的文章，以及前面提到的富勒的教科书Statistical Mechanics（统计力学）。

22.1938至1939年，梅耶夫妇的相变理论首次将不同相统一在同一个微观运动系统中。