戴森传奇之『鸟与蛙的妙喻』
12月15日是弗里曼·戴森（Freeman Dyson）的生日。他今年已经九十三岁，仍在继续写文章、做研究，包括纯数学方面的一些有趣工作。戴森的名字在中国也许已经不陌生。作为杰出的作家，他有广泛的读者。他有好几本著作被译成中文，其中处女作《宇宙波澜》甚至有三个译本，而邱显正的译本在2002年荣获了台湾吴大猷学术基金会颁发的首届吴大猷科普著作奖。《全方位的无限》、《想象中的世界》、《太阳、基因组与互联网》、《反叛的科学家》和《一面多彩的镜子》也先后出版了中译本。想必很多读者都为戴森的文笔所吸引，而对他作为数学家和物理学家的身份却未必很了解。本文将尝试解读这位集科学才能与人文修养于一身的大家。《赛先生》获作者授权连载此文，欲读前文请见戴森传奇之『英才少年』、戴森传奇之『奠基量子电动力学』。
林开亮（首都师范大学数学博士，目前任教于西北农林科技大学理学院）
美国数学会1996年出版的《戴森论文选集及评注》收录了他直到1990年为止的最重要的一部分科学工作。该书模仿了杨振宁1983年出版的《杨振宁论文选集》的格式，将49页的评注集结在一起放在书的开始部分，构成了他的科学自传。正如杨振宁的评注描述了杨振宁之所以成为杨振宁，戴森的评注也描述了戴森之所以成为戴森。
《戴森论文选集及评注》中收入的工作分为三个领域：数学、物理、工程学与生物学。我们这里只介绍他的物理与数学工作。
在戴森1948年之后的所有物理工作中，值得特别书写的有两笔。第一是1961年关于随机矩阵的工作，是戴森与其创立者维格纳交谈的结果。对戴森而言，这个工作令他极为兴奋，他在《戴森论文选集附评注》[1]中写道：
1961年我在布鲁克海文度学术假，以极快的速度写完了三篇系列论文。好像我每天都在发现新的要解答的问题。每一个优美的等式在第二天又引出另一个更加优美的等式。
在以后的若干年里，戴森仍然不时地回到这一主题。由于维格纳、梅塔、高登（M. Gaudin）、戴森等人的努力，随机矩阵已经发展成为一门系统的学问，而且直到现在都很热门。常常被传为美谈的是，戴森与造访高等研究院的数论专家蒙哥马利（Hugh Montgomery）的一次偶然交谈，促成他们发现了随机矩阵与数论中的黎曼假设之间的微妙关联。
戴森的第二个重要工作属于统计物理。1965-1966年他与勒纳合作，首次从数学上严格证明了物质的稳定性。这个问题在一年前由费希尔（M. Fisher）和吕埃勒（D. Ruelle）作为悬赏（香槟一瓶）问题提出。戴森与勒纳用到的数学技巧源于他1957年对李政道、杨振宁的一项工作之改进。戴森与勒纳将近40页的复杂证明，在10年后被李布和瑟林（W. Thirring）简化到不足3页。对此，戴森在《戴森论文选集附评注》中反省到：
为什么我们的证明如此糟糕而他们（李布和瑟林）的证明如此优美？原因很简单。我和勒纳的证明是从一些数学技巧出发，在不等式的丛林中披荆斩棘，没有任何来自物理方面的想法引导。而李布和瑟林是从一个简单的物理思想——物质之所以稳定，是因为经典的托马斯-费米原子模型（Thomas-Fermi model）是稳定的——出发，寻求合适的数学语言将这一思想转化为严格的证明。当我在剑桥做学生时，数学家李特尔伍德一次曾在课堂上讲，第一流的数学家是那些发表糟糕证明的数学家。第一流的数学家发表糟糕的证明之后，第二流的数学家研究细节并给出更好的证明。物质的稳定性的两个证明为李特尔伍德的格言提供了一个反例。李布和瑟林找到了好的证明，他们既是第一流的数学家，也是第一流的物理学家。我们的糟糕证明的主要价值在于，它激励了李布和瑟林去寻求更优美的证明。
虽然身在主流数学之外，戴森在数学界也颇有影响。总的说来，数学家更欣赏他的数学观，因此戴森常常被邀请到各种场合做演讲。例如，1965年，他受美国工业与应用数学协会邀请，做了题为“群论在粒子物理中的应用”的冯·诺依曼讲座（John von Neumann Lecture）。1972年，他受美国数学会邀请，作了题为“错失的机会”[2]的吉布斯讲座（Josiah Willard Gibbs Lecture）。在吉布斯演讲中，戴森举了很多例子有力地表明，数学家由于与物理学家的疏远而错失了许多重要发现（例如麦克斯韦（Maxwell）方程中所隐含的狭义相对论原理）的机会。戴森以他本人的教训——错失了独立于数学家麦克唐纳（I. G. Macdonald）发现模形式与仿射李代数之间的奇妙联系的机会，“而这仅仅是因为数论学家戴森和物理学家戴森没有彼此沟通”——现身说法，呼吁数学家多与物理学家对话，一起推动科学研究。
戴森的演讲才能也许受到了马丁·路德·金（M. L. King）的激发。他在《宇宙波澜》一书中曾提起马丁·路德·金在1963年8月28日所做的“I have a dream”的著名演讲[3]：
马丁·路德·金讲得像《旧约全书》里的预言家。我离他极近，听他演讲时我哭了，哭的也不止我一个。“I have a dream.”他在向我们描述他关于和平与正义的展望时，一遍又一遍地重复着这句话。我在那天夜里写的家信中写道，“我随时准备为他蹲监狱。”当时我并不知道我听到的是人类历史上最著名的一次演讲，只知道这是我听过的最伟大的一次演讲。我更没有想到马丁·路德·金会在五年之后遇刺身亡。
1987年，伟大的印度传奇数学家拉曼纽扬百年诞辰，戴森因为早年对拉曼纽扬的工作有过研究而受邀参加学术纪念活动。他所做的演讲是“拉曼纽扬花园漫步”。在演讲中，他希望数学家与物理学家关注拉曼纽扬生前的最后一项卓越发现——仿西塔函数（mock 
-functions）。他充满寄托地说道（令人联想起马丁·路德·金的著名演讲）：
我的梦想是，在我有生之年能够看到，我们年轻的物理学家实现超弦理论所预言的内容与大自然的事实之间的对应，从西塔函数（
十五年之后的2002年，荷兰的青年数学家兹威格斯（S. Zwegers）在德国马普所数学家察吉尔（D. Zagier）的指导下完成了题为“仿西塔函数”的博士学位论文。在此基础上，2008年，美国威斯康辛大学的数学家布瑞曼（K. Bringmann）与小野（K. Ono）又向前推进一步。与戴森的预言更契合的，是程之宁（Miranda Chih-Ning Cheng）及其合作者在2012年提出、并由小野等人在2015年证明的“伴影月光猜想（Umbral Moonshine Conjecture）”。这一点连程之宁教授本人也是同意的，她告诉我她当初提出这个猜想时并没有想到戴森的话。他们的工作，一起回应了戴森的呼吁，部分实现了戴森的梦想。戴森的数学远见由此可见一斑。
2008年，戴森为美国数学会的爱因斯坦讲座准备了以“飞鸟与青蛙（Birds and Frogs）”为题的演讲。讲座因为戴森生病而临时取消了，但讲稿[4]发表了。该演讲的基本观点取自《全方位的无限》[5]，但立意更高，戴森提到了许多有趣味有哲理的话题。戴森在开篇写道：
有些数学家是飞鸟，有些是青蛙。飞鸟在高空翱翔，俯瞰数学的广大领域，直至遥远的地平线。他们乐于统一我们的思想，并且融合来自数学大地上不同部分的各种各样的问题。青蛙生活在泥沼中，只能看到生长在附近的花朵。他们以特殊对象的细节为乐，在一段时间只解决一个问题。我碰巧是只青蛙，但我的许多最好的朋友都是飞鸟。我今晚演讲的主题就是“飞鸟与青蛙”。数学既需要飞鸟也需要青蛙。数学是丰富的和美丽的，因为飞鸟赋予它开阔的视野，青蛙赋予它错综复杂的细节。数学既是伟大的艺术，又是重要的科学，因为它把概念的普遍性和结构的深刻性结合起来。因为飞鸟看得更远而断言飞鸟优于青蛙，抑或是因为青蛙看得更深而断言青蛙优于飞鸟，都是不明智的。数学的世界博大而精深，我们需要飞鸟和青蛙为探索它而一起工作。
“飞鸟与青蛙”演讲稿片段
飞鸟与青蛙这个比喻是如此之妙，不由得令人怀疑，戴森这里是不是偷偷引申了古希腊诗人阿基罗库斯（Archilochus）关于刺猬和狐狸的比喻，正如作家伯林（I. Berlin）曾借用它来评论托尔斯泰（L. Tolstoy）的历史观一样。笔者曾发邮件询问戴森，他取“飞鸟与青蛙”这个标题，是否受到了阿基罗库斯关于哲学家分为“狐狸与刺猬”两种的启发？他答复说：“是，演讲的标题来自于希腊的戏剧家阿里斯多芬尼斯（Aristophanes），他曾写过两部有名的戏剧《飞鸟》与《青蛙》，但其思想则有似于阿基罗库斯的狐狸－刺猬的二分法。我发现，对两种数学家来说，青蛙与飞鸟是更好的比喻”。
戴森在文中举出了青蛙与飞鸟的诸多例子，如培根（F. Bacon）与笛卡尔（R. Descartes）、伯西柯维奇与外尔（H. Weyl）、冯·诺依曼与曼宁（Y. Manin），并含蓄地将他本人与杨振宁作为另一对比较的例子：
在做了伯西柯维奇的几年学生之后，我来到普林斯顿并结识了外尔。外尔是典型的飞鸟，正如伯西柯维奇是典型的青蛙。我幸运地与外尔在他从普林斯顿高等研究院退休之前有一年的过从，从该研究院退休之后返回他在苏黎世的老家。他喜欢我，因为那一年我在《数学年刊》发表了关于数论的论文，在《物理学评论》上发表了关于量子辐射理论的论文。他是当时对这两门学科都是行家里手的少数人之一。他欢迎我到高等研究院，希望我成为像他那样的飞鸟。令他失望的是，我不过是一只无可救药的青蛙。……
过去的五十年是飞鸟的艰难时期。即使在艰难时期，也有飞鸟要做的工作，而且飞鸟们表现出了攻克困难的勇气。外尔离开普林斯顿后不久，杨振宁从芝加哥来到普林斯顿，并住进了外尔的旧居。在我这一代的物理学家中，杨作为一个领头的飞鸟接替了外尔的位置。当外尔还活着的时候，杨和米尔斯（Robert Mills）发现了非阿贝尔规范场的杨-米尔斯理论（按：外尔于1955年去世，杨-米尔斯论文1954年发表），这是对外尔早期规范场思想的绝妙推广。
第一段话跟前面所引的戴森追忆奥本海默的话何其神似！真是难以想象，年仅25岁的戴森能同时被数学界的领袖外尔和物理学界的首脑奥本海默如此垂青！要知道，作为外尔在物理学方面的传人的杨振宁，毕生最大的遗憾之一，就是不知道曾经近在咫尺的外尔，原来一直都对规范原理念念不忘！杨振宁曾写道[6]：
在物理学家中，没有人知道他（外尔）对规范场思想的兴趣是锲而不舍的。无论是奥本海默还是泡利，都从未提及这一点。我猜测他们也没有把我和米尔斯1954年发表的论文告诉他。如果他们告诉了他，或者他偶然发现了我们的文章，那么我能想象得到，他一定会非常高兴，而且会非常激动。因为我把他所最珍爱的两样东西——规范场和李群——放在一起了。
奥本海默（摄于1946年）
外尔
杨振宁的遗憾真可以用“世界上最遥远的距离不是生离死别的距离，而是我站在你面前，你却不知道我爱你”来形容。这里的“你”就是飞鸟外尔。飞鸟与青蛙的比喻凸显了杨振宁与戴森的差别，正如杨振宁曾借用狐狸与刺猬的比喻来彰显中国近代两位著名数学家华罗庚与陈省身的不同[7]。
戴森在这个演讲稿中还以开玩笑的方式建议了一种攻克黎曼假设的可能途径（转而考虑拟晶的枚举与分类）。可以看出，戴森一直没有放下他年少时的梦想（证明黎曼假设），就像屈原所说的“余幼好此奇服兮，年既老而不衰”。
由于戴森对冯·诺依曼的工作（例如博弈论与计算机理论）很有兴趣，2010年5月，他受邀在布朗大学做了一个题为“漫步在冯·诺依曼的花园”[8]的通俗报告。从两个演讲的标题“漫步在冯·诺依曼的花园”和“漫步在拉曼纽扬的花园”可以看出，戴森倾向于将数学视为一种智力上的消遣。也许，数学在他眼里，与其说是一种智力拼搏，毋宁说是一种探险猎奇。
戴森仍然不时地回到纯数学研究中。2012年，将近九十岁高龄的戴森还在数学刊物《拉曼纽扬杂志》上发表了一篇题为“分拆与巨正则系综”的论文，还与普雷斯（W. Press）合作在《国家科学院进展》上发表了一篇关于博弈论中“囚徒困境”的研究论文。不过戴森认为，他自1990年以后的那些数学与物理研究更多的是具有趣味性，而谈不上特别的学术性。他在为《科学的面孔》写的自传中说道[9]：
大多数科学家把科学当成一种类似于盖房子或者烹饪的技能，少数科学家把科学当作哲学探索。我属于前者。我从不关心我要解决的问题是否重要。纯数学领域的无关紧要的问题与原子物理学和生物学的重要问题同样有趣。
2015年5月，新加坡世界科学出版社出版了戴森的一本新书，收集了他所自选的1990-2014年期间的代表性文章，书名就叫《飞鸟与青蛙》[10]。这可以看作他1996年的《论文选集附评注》的续篇，但其侧重点跟《从爱神到盖娅》一样，收入的大部分是通俗文章而非专业论文。
《飞鸟与青蛙》
（待续）
后记
这是我当学生时写的第一篇人物传记，定稿后我立刻知道自己能写，到现在仍然引以为傲。特别是，因为它我结识了不少好朋友。戴森是个很可爱的人，他鼓励人不走寻常路。他文笔很好，尤其喜欢对比的手法，我从他那里学到很多。我这篇文章，有意无意在拿他与杨振宁先生做比较，因为这篇文章本身就是源于这样的想法，他们在某些方面是有一拼的。杨先生告诉我，他自认为数学能力不如戴森。戴森在某些场合也承认，自己缺乏物理直觉。他们是普林斯顿高等研究院十几年的同事。遗憾的是，我这里没有他们的合影。
本文初稿曾以《弗里曼·戴森：科学家与作家的一生》为题发表于《科学文化评论》，2013年第3期，也曾作为附录重印于戴森的中译本著作《一面多彩的镜子》（肖明波、杨光松译，浙江大学出版社，2014），后来又刊登于香港《数学文化》2015年第3期和台湾《数理人文》2016年第9期。感谢一些热心读者和朋友（包括戴森本人根据英文版）的反馈，初稿中的某些错误现在得到了更正。
[1] Dyson 1996. Selected Papersof Freeman Dyson with Commentary. American Mathematical Society.
[2] Dyson 1972, “Missed opportunities”, Bull. Amer. Math. Soc. 78(1972), 635–652.
[3] 戴森1982.
[4] 见http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf%3Fq%3Dbirds-and-frogs.这篇演讲至少有4个中译本。例如可见：《数学译林》2010年第1期赵振江的译本（网上有电子版）；《数理人文》2014年第2期赵学信的译本《鸟与蛙》。
[5] Dyson 1988. Infinite in All Directions. 有中译本《全方位的无限》. 李笃中译. 北京: 三联书店. 1997
[6] C. N. Yang 1985. Hermann Weyl’s contribution to physics. 收入 C. N. Yang 2013.有中译文，《外尔对物理学的贡献》，收入杨振宁 2008.
[7] C.N. Yang 2013. 杨振宁在该书188页写道：伯林（Isaiah Berlin，1900-1997）普及了希腊关于哲学家的两种不同类型的观念：“狐狸掌握多门技艺，而刺猬则精通一门绝技。”我想这是一种极好的方式来描述华罗庚与陈省身的不同：华罗庚兴趣广泛，对数学的几个不同分支做出了重要贡献；而陈省身则专注于微分几何一个分支，但他革新了这个分支，并且这个革新后来对20世纪的几何、代数、分析、拓扑各个主要分支都有深远的影响，甚至深入影响了近40年来理论物理学的发展。
[8] 见http://www.ams.org/notices/201302/rnoti-p154.pdf.有两个中译文：《漫步Johnny von Neumann花园》，段柳柳、刘瑞义译，《数学译林》2014年第2期；《漫步在冯诺曼的花园：天才的落英缤纷》，赵学信译，《数理人文》2015年第3期。
[9] M. Cook 2005.
[10] Dyson 2015 a. Birds and Frogs: Selected Papers,1990-2014. World Scientific. 对该书的一个介绍可见，林开亮，大科学家笔下的大物理学家——戴森《飞鸟与青蛙》，《中华读书报》，2015年8月5日，第13版。
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赛先生由百人传媒投资和创办，文小刚、刘克峰、颜宁三位国际著名科学家担任主编，告诉你正在发生的科学。上帝忘了给我们翅膀，于是，科学家带领我们飞翔。
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