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对两个质数定理的证明，是一个展现群论与数论之间美妙的相互关系的好例子。

撰文 徐一鸿（A. Zee）

翻译 林海（清华大学）

校对 浅滩

诺贝尔物理学奖获得者肯尼斯·格迪斯·威尔逊（Kenneth Geddes Wilson，1936 - 2013），在量子场论和凝聚态物理学等领域具有深刻的影响。他几年前去世了。我在纪念他的文章《回忆肯·威尔逊》（“My Memory of Ken Wilson”）中讲述了他对我的学术生涯的影响^[1]。我写的群论教科书^[2]里讲过下面这个故事。

图1. 肯尼斯·格迪斯·威尔逊（Kenneth Geddes Wilson，1936 - 2013）。（图片来源：维基百科^[3]。）

量子电动力学（QED）的创始人之一，著名物理学家，理查德·菲利普斯·费曼（Richard Phillips Feynman，1918 - 1988），在任教的美国加州理工学院为研究生开设多次研讨班（seminar）。肯·威尔逊曾是参加研讨班的学生之一。有一次在研讨班期间，费曼撞见威尔逊和一位同学正在说话，就问威尔逊在说什么。威尔逊回答说：他们在讨论“威尔逊定理（Wilson’s theorem）”。费曼于是让威尔逊上前在黑板上陈述并证明“威尔逊定理”。

不过，定理中的威尔逊是另一个人！“威尔逊定理”是由英国的约翰·威尔逊（John Wilson，1741 - 1793）于1770年左右发现，并由他的老师爱德华·华林（Edward Waring，约1736 - 1798）于同年宣布的。爱德华·华林和约翰·威尔逊师生都没能证明这个定理。该证明是在1771年，由物理学家皆较为熟悉的法籍意大利^[4]物理学家和数学家，约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）给出的。阿拉伯学者哈金（Ibnal-Haytham）可能在1000年左右就知道^[5]这个定理^[6]。

这个定理说的是什么？让我们先做几个数值试验。

取一个自然数n，看看 (n-1)!+1 是否能被 n 整除（这里解释一下何为“!”。比如对于正整数m，m! 表示其阶乘，即所有小于等于m的正整数的乘积。例如5!=5·4·3·2·1=120 。）：

取n=3，有 (3-1)!+1=3 。是，它能被3整除。

取n=4，有 (4-1)!+1=7。否，它不能被4整除。

取n=5，有 (5-1)!+1=25。是，它能被5整除。

取n=6，有 (6-1)!+1=121。否，它不能被6整除。

取n=7，有 (7-1)!+1=721。是，它能被7整除。

读者可以再取几个数试算。

 “威尔逊定理”说的是，当且仅当n是一个质数时，(n-1)!+1能被n整除。这个定理可以用于检验一个自然数是否为质数^[7]。

有些物理学家会风趣地说，这不用证明，因为我们已有5个数据点，这个定理的正确性的置信水平（confidence level）为99%。（这当然是一个玩笑！）对数学家而言，当然需要一个证明。也许你可以想出一个证明，足以媲美华林和威尔逊的才智。或许，你不能给出证明，但你仍然可以阅读我的群论教科书中的证明^[8]。这个证明是一个很好的例子，展现了群论与数论之间美妙的相互关系。

这儿说个经典的笑话。一位工程师、一位物理学家和一位数学家第一次游览新西兰。他们在火车上望见窗外一只黑色的羊。工程师惊叹：“新西兰的羊是黑色的。” 物理学家却说：“你还不能这么认为。如果等会儿看见另外一两只羊也都是黑色的，那么我们才可以比较肯定地猜测，新西兰所有的羊都是黑色的。”然而数学家则笑着说：“你只能说，我们从火车上看到的新西兰的羊，它们朝向火车的这一侧是黑色的。”

现在，我想提一下“费马小定理”（Fermat's little theorem）（称之为“小定理”是为了区别于著名的“费马大定理（费马最后定理）”）。皮埃尔·费马（Pierre de Fermat，1601或1607/1608 - 1665）^[9]在物理学和数学上皆做出了基础的贡献。在这儿只讨论“费马小定理”的一个特殊情形。

如果p是一个大于2的质数，“费马小定理”说，2^p-1-1能被p整除。

让我们再做几个数值试验：

取p=3，有 2²-1=3 。是，它能被3整除。

取p=4，有 2³-1=7 。否，它不能被4整除。

取p=5，有 2⁴-1=15 。是，它能被5整除。

取p=6，有 2⁵-1=31 。否，它不能被6整除。

取p=7，有 2⁶-1=63 。是，它能被7整除。

此时，读者更倾向于做物理学家，还是数学家？

Gutfreund和Little^[10]用物理学语言给出了一个优美的证明。

考虑在一个圆环上排列着p个符号（symbol）其中每个符号可以取值“+”或“-”（图2）。物理学家称这个圆环具有p个伊辛自旋（Ising spin），并称这p个“+”或“-”的符号的一种排列为一个“自旋构型”（spin configuration）。物理学有一个领域称为统计物理和热力学，其中含括了计算构型的个数。如果读者不知道这些术语，比如“自旋”等，没有关系，这对接下来的讨论并不重要。

图2. 排列着p个符号的圆环。每一个排列是一个构型（configuration）。图中的5个构型在同一个等价类（equivalence class）中。（图片来源：A. Zee “Group Theory in a Nutshell for Physicists”第153页。）

以下的讨论^[11]适用于任意的质数p。为了使读者易读，我将常常以p＝5为例。比如，p＝5时，++--+这一个排列就是一个构型（configuration）。

因为每个符号可以取两个值，即“+”或“-”，所以，p＝5时，这个圆环总共有2×2×2×2×2=2⁵=32个构型。对于任意的质数p，总共有2^p个构型。如果两个构型可以通过逆时针旋转若干格而变为相同，则称这两个构型是等价的（equivalent），或者说，是同类的。例如，p＝5时，以下五个构型，++--+、+--++、--+++、-+++-和+++--，是互相等价的（图2）。这和我们的直观相符：在这5个构型中，每个构型都有3个相邻的“+”和2个相邻的“-”。这5个互相等价的构型，被称为在同一个“等价类”（equivalence class）中，或者简称在同一“类”（class）中。

这里请注意一个重要方面：符号都取“+”的构型，例如p＝5时的+++++，是特殊的；因为它只等价于自身。它所在的等价类只有一个构型。同理，符号都取“-”的构型，例如p＝5时的-----，也是特殊的。这两个构型皆是特殊的。

除了这两个特殊构型，我们将其余的2^p-2个非特殊构型划分为等价类。如上所述，每个非特殊构型所在的等价类正好包含p个构型。因此，2^p-2能被p整除。例如，p=5时，有32-2=30个非特殊构型，并有6个等价类；这时2⁵-2确实能被5整除。

现在，我们几乎完成了证明！请注意，2^p-2显然是一个偶数（因为我们从偶数

2^p上减去了另一个偶数2）。那么，2^p-2能同时被2和p整除。因此，当p为大于2的质数时，2^p-2能被2p整除。从而，(2^p-2)/2=2^p-1-1能被p整除。定理的证明完成了。

留心的读者可能会提一个问题：在上面的证明中，我们在哪儿使用了“p是大于2的质数”的事实？

为了解释这个微妙的问题，最简单的办法是检查一下，当p不为质数时，前面的证明如何失效。我们以p=6为例，考虑+-+-+-构型。它逆时针旋转一格后变为-+-+-+构型；再逆时针旋转一格后，它又变回了原来的+-+-+-构型。从而，+-+-+-和-+-+-+构成了一个等价类。这个等价类只包含2个构型，而不是6个。读者可以检验，+--+--、--+--+、-+--+-这3个构型也构成一个等价类。因此，在上面的证明中，仅当p为质数时，每个非特殊构型的等价类才包含p个构型。

这和群论有什么关系？要完全地回答这个问题会很复杂。对于已经了解一些群论的读者，我可以提一下，上一个段落的最后一句结论可以从“拉格朗日定理”（Lagrange's theorem）导出^[12]。这位拉格朗日，就是前面提到的证明“威尔逊定理”的拉格朗日。

现在请读者们自己思考一个简单的问题：为什么^[13]“费马小定理”对于质数2不成立？显然2¹-1=1不能被2整除。

聪明的读者可能意识到了这个定理可以被推广。例如，我们可以使环上的每个符号，不是取2个值“+”“-”，而是取3个值“+”“-”“×”，或者取a个值，其中a为一个任意大的自然数。

“费马小定理”说，如果p是大于2的质数，而a不是p的倍数^[14]，那么a^p-1-1能被p整除。这正是费马提出的原始版本。

读者可以试试不同的a和p，这很有趣。例如，p=3时，这个定理说，只要a不是3的倍数，a²-1就能被3整除^[15]。

请注意“费马小定理”并没有说，如果a不是p的倍数，当且仅当p是大于2的质数时，a^p-1-1能被p整除。所以，这个定理不能用作完美的对质数的检验（primality test）。在实际算法中，给定一个非常大的自然数p，我们随机地取一系列不是p的倍数的自然数a，可以迅速检验a^p-1-1是否能被p整除。若试验时对某个a不成立，那么p便不是质数。若对足够多的a都成立，那么p很有可能是质数。顺便提一下，若a^p-1-1能被p整除，但p不是质数，那么，这样的a被称作“费马骗子数”（Fermat liar），这样的p则被称作“费马伪质数”（Fermat pseudoprime）。

因我从肯·威尔逊的一个故事说起，让我再以另一个故事作结。肯·威尔逊从哈佛学院毕业后，西迁到加州理工学院攻读研究生。他的父亲（E. B. Wilson）是知名化学家和哈佛大学教授。他告诉肯·威尔逊，加州理工学院有两个绝顶聪明的人：理查德·费曼和默里·盖尔曼（Murray Gell-Mann，1929 - ），你一到那里就应该向他们介绍你自己。

当威尔逊去敲费曼的办公室门时，听到这位著名的物理学家喊道：“别打扰我！我很忙。”他又敲了几下，这时费曼打开门，瞪着威尔逊，问道：“干什么？”威尔逊解释道，他是新来的研究生，希望费曼给他建议一个题目做研究。费曼喊道：“滚开！（Get lost!）如果我有一个好题目，我就自己去研究了！”

接着，威尔逊去找盖尔曼。盖尔曼热情地欢迎他到研究生院来。威尔逊请盖尔曼给他建议一个题目，盖尔曼向他解释说，拉斯·昂萨格（Lars Onsager，1903 - 1976）^[16]已经给出了二维伊辛模型（Ising model）的严格解，并建议威尔逊去求解三维伊辛模型。然后说道：“等你找出严格解后，再来找我谈。”有趣的是，五十多年后的今日，三维伊辛模型仍未被严格求解，尽管人们已经知道它的很多临界性质。

这个故事，刻画了当代人物对待研究生的两种极端方式。哪种更为不妥呢？我还是请读者们自己思考吧。

注释：

1. 见“Ken Wilson Memorial Volume: Renormalization, Lattice Gauge Theory, the Operator Product Expansion and Quantum Fields”, B. E. Baaquie, K. Huang, M. E. Peskin, and K. K. Phua编辑, World Scientific 2015.

2. A. Zee, “Group Theory in a Nutshell for Physicists”, Princeton University Press 2016.

3. http://en.wikipedia.org/wiki/Kenneth_G._Wilson

4. 在那个时代，“法籍意大利人”这个词还没有意义。

5. 我不知道阿拉伯数学中是否有“证明”这个概念。

6. 如果有读者知道历史上有中国数学家知道这个定理，请您留言告知。

7. 比如，2017是质数，而2016显然不是。

8. 见第152页。

9. 关于费马的出生年份的混淆，原因是费马的父亲结了两次婚，并把两任妻子生的两个儿子都取名为Pierre（皮埃尔）。见K.Barner, NTM, 2001, vol. 9, no. 4, page 209.

10. H. Gutfreund and W. A. Little, Am. J. Phys.50(3), 1982.

11. 此处增修自我的群论书，第152页。

12. 这个定理指出，如果H是有限群G的子群，那么G中元素的个数能被H中元素的个数整除。可参阅我的群论书，第43页。所以，如果p是质数，循环群Z_p没有非平凡的子群。

13. 在上面的证明中，当我们得出“2^p-2能同时被2和p整除”时，如果p=2，这两条信息就变为一条。

14. 如果a=kp，其中k为某自然数，那么a^p-1=k^p-1p^p-1显然能被p整除，因而a^p-1-1不能被p整除，此时定理不适用。                                             

15. 因为a不等于3k，其中k为某自然数，那么a必然等于3k+1或3k+2。不论哪种情况，a²-1=(a-1)(a+1)都能被3整除。

16. 拉斯•昂萨格于1968年获得诺贝尔奖，在这个故事发生的几年之后。

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