导读：

      物理学家杨振宁认为，要解决物理基本理论中许多复杂的困难问题，必须引进一些跟数学有密切关系的新观念，但理论物理的数学“猜想”，应该由物理现象入手，不然就会流于无的放矢，这也是他对于当前一些热门物理理论不看好的原因。

近代科学与现代数学的唇齿相依，是一般知道也认同的。现代数学思维逻辑源自希腊的《几何原本》，之后发展出愈益繁复或细致的计量衡形方法，在人类发展近代科学中，现代数学原本扮演着数量描述的关键角色，但是整体而论，还是一个从属的定位，不过随着近代科学理论发展日益深邃玄奥，现代数学逐渐起了一种主导的作用，不只是对于客观现实做一个数值描述，更成为了主导客观现实意义定义的思维体系。

前述想法是由月前看到的一篇书评所得，当然也符合近些年来我对于科学理论中数学发展的一些认知。这篇书评介绍的《公理学：数学思想和高等现代主义》认为，数学家遵循欧几里德《几何原本》的一些公理，以及千百年一直未变的证明模式，但是当前现代数学却进行巨大的变化，特别是在上世纪，简单来说，这个巨变就是抽象化的日益深入，挑战着数学的一些根本信念。

这本《公理学》的作者认为，这个数学革命是主宰二十世纪艺术与社会科学现代主义运动的核心，数学家对于抽象化的推动，反映于经济、社会、心理和政治科学的大趋势，也受到大趋势影响而在美国勃兴。一些科学家认为他们发展的抽象化数学，已由纯粹解释自然世界解放出来，就好像艺术的抽象表现主义，让绘画脱出真实世界是一样的。

引导近代科学起步的代表人物牛顿，由欧几里德《几何原本》逻辑推理进而发展出影响深远的数学原理，是近代科学历史的一个共识。事实上，几个世纪以来，近代西方知识思想的发展，由政治学到哲学伦理学，也都受到《几何原本》逻辑推理的影响。但是现代数学由原本来自现实的公理出发进而逻辑推理的发展，后来发展出不同的面貌，现代数学家脱离过去欧几里德《几何原本》推理的现实局限，创生出他们自己所需要的公理，也早发展出非欧几何。

二十世纪现代数学的抽象化受到许多历史与人物影响，特别是在二十世纪，数学家认为数学的抽象与普遍化，并非乖违于真实世界，而是数学思维的如何能应用于实际问题；数学不只是量测和计算，更能够展现出相关概念的隐藏结构。这样的思维发展就不只是如何运用数学概念，而是要发明新的数学概念，《公理学》这本书认为，二十世纪赛局理论的出现，以及其在经济学和政治学中的大行其道，正是明显例子。

当然二十世纪近代科学核心的理论物理学，与现代数学发展的抽象化大趋势，更是纠葛深远。现代数学中讨论物体位相几何的拓朴学，便与理论物理学有许多交流或借鉴的发展，目前在理论物理学中所谓“拓扑物质”，或是可能与之相关的“超级量子计算”，以及理论物理中讨论重力量子理论的弦论的可能推展，都已经是数学抽象化大趋势中的热门话题。

上世纪提出一个美妙数学概念，影响整个理论物理发展基础结构的大物理学家杨振宁，对于数学与物理的关联与分野，一直有着深刻的思考和评断。他认为，要解决物理基本理论中许多复杂的困难问题，必须引进一些跟数学有密切关系的新观念，但是对于一些理论物理学家，纯粹为了解释物理学中观察到的规则性，勉强与起因于对称观念的数学规则性相匹配的发展，一直持批判的态度。他认为理论物理的数学“猜想”，应该由物理现象入手，不然就会流于无的放矢，这也是他对于当前一些热门物理理论不看好的原因。

有一些批评认为，杨振宁最重要的工作“杨-米尔斯规范场论”，也是由纯粹数学概念出发的，但那是建基于有稳固实验基础的马克士电磁方程以及同位旋守恒律，后来才能在物理科学中灿然大起。多年之后，杨振宁发现普遍的规范场和数学上的纤维丛关系密切，十分惊讶于纤维丛能在完全不涉及物理世界的情况下发展出来，曾经就教于大数学家陈省身，数学家如何可能够凭空想出这些概念，陈省身的回答，“这些概念不是凭空想出来的，是自然的也是实在的”，令他印象深刻。

上一个世纪，在“杨-米尔斯规范场论”基础上，进而形塑出解释物质基本结构的“标准模型”，但是由于理论中有着未能规范重力的缺失，也是成为促使近代物理理论愈益向着更为抽象化发展的动力。公认在这方面有着卓越贡献的,是提出“弦论”的理论物理学家威腾（Edward Witten），甚至有人拿他与爱因斯坦相提并论。十多年前威腾在《自然》杂志发表了一篇短文“解开弦论”，他说：“弦论可以说是唯一能整合重力和量子力学的办法，但是弦论的核心概念又是什么？”

“爱因斯坦早在发展出广义相对论的方程式以前，就了解了它的核心概念。相对来说，弦论却是在长达四十年的时间，一点一滴地发掘出来,没有人真正了解其中详情，因此每一项新的发展，都有如一个意外。我们依然不知道这些概念从何而来，往何而去。”

“或许有一天我们会了解弦论是什么。但是就算我们能了解，而且这个理论是走在正确方向，我们是否有能力去认识它在自然间的作用？我十分希望会是如此。”

“在现实上，这都取决于许多未知数，包括了答案的本质，我们有多么聪明，以及我们能由实验获得的证据。”

当然这种探究物质奥秘的努力并没有停止，发展出愈加玄奥抽象化的数学，展现出诸如“魏尔费米子”（即“外尔费米子”）、“量子自旋液体”等许多难以理解的“拓扑物质”，以及让人津津乐道对“量子计算”的向往，威腾也成为唯一获得数学最高荣誉菲尔兹奖的物理学家。

数学抽象化会带来如何“真实的一个世界？《红楼梦》说的好：“假作真时真亦假，无为有处有还无。”

作者简介：

注：本文原标题为“数学抽象化何所为”，首发于2023年3月出版的《经典》杂志，《赛先生》获作者授权转载。

制版编辑 | 小毛