撰文 | 张天蓉

责编 | 宁    茜 吕浩然

说到环面，我们经常想到的是甜甜圈形状，但是拓扑学家们偏向于一种以更抽象的方式来描绘的环面。在图1a中，我们将二维环面画成一个长方形。

图a的方形中，“A”箭头所对应的两条边将会被粘合在一起，“B”箭头所对应的两条边也将会被粘合在一起。也就是说，如同科幻片中见到的那样：当你从长方形上方的A边走出长方形时，你会在下方的A边上出现；当你穿过长方形右边的B时，你会在左方的B边现身。

如此而形成的二维环面，被称为抽象环面，或平坦环面（Flat Torus）[1]，它的形状不同于甜甜圈。事实上，如图1所示：两条A边粘合后形成柱面，这第一步没有任何问题。然而，第二步，当我们将图c柱面的两端B 粘合起来后，我们不可能得到真正甜甜圈的形状，即图1d所示的那种平滑无皱褶的曲面。这里有一个深层的原因：抽象环面来自于一个平坦的长方形，本质上是平坦的，（内蕴）曲率为零，而通常所见的甜甜圈的内蕴曲率不为零。抽象环面与甜甜圈的内蕴性质不一样。

尽管抽象环面不能被平滑地嵌入三维空间中，却很容易依靠想象来理解它的拓扑性质。

最简单的环面是1维的圆圈，图1构建的是二维环面，其方法可以推广到更高的维度。例如，设想一个长方体，它有六个面：（A,A’）、（B,B’）、（C,C’），两两互相平行。想象将A和A’粘合在一起，B和B’、C和C’也粘合在一起，便构成了一个3维的抽象环面。同样的方法可以构建任意n维的抽象环面。

卡拉比—丘流形或者抽象环面，作为6维紧致空间，加上我们熟悉的、大范围尺度上展开了的4维时空，构成弦论的10维时空，是“弦”活跃的舞台。也就是说，弦论中有两种舞台：4维时空大舞台（即我们身处的现实世界）和6维的小舞台。从数学的角度说，弦论中的空间是4维时空与6维紧致空间的笛卡尔积。

除了舞台和演员之外，还得有剧本，即游戏规则。对物理学而言，游戏规则又有量子及非量子（经典）之分。

弦在空间的运动规律可以从点粒子的运动规律推广而来。首先我们看看如何将经典点粒子规则推广到经典弦。

牛顿力学中，点粒子的轨迹是3维空间中随时间变化的一条线。相对论中，将粒子在4维时空中运动的轨迹称为“世界线”，见图2a。弦论中，0维的点粒子被（更小的）1维的弦运动代替了。弦在时空中运动的轨迹则用轨迹面代替，称之为“世界面”，如2b所示。更进一步，如果运动的实体是二维的（膜），时空中的运动轨迹便叫做“世界体”，如图2c所示。

图2：粒子vs弦（或膜）

相对于无大小的点粒子数学模型而言，弦模型有许多优越性，其中一点便是避开了点粒子的无穷大问题。

在经典电子学中就存在无穷大的困难。经典物理中，可以将电子当作一个半径r的小球，电子的质量公式为m = e²/rc²。当r趋近于0时，质量成为无穷大。最后，经典电子论通过引进电子的有限半径（非点粒子）免除了这一发散。在量子场论中，则需要使用重整化的方法消除无穷大，但引力场不能重整化，从而使它不能被包括到标准模型中。

然而，对弦论而言，重整化变得无关紧要，因为弦不是点，弦有尺寸大小，自然而然地去除了点粒子的发散问题。

图2中点粒子和弦运动的类比，很容易推广到其它情形，包括量子弦及相互作用的情形。也就是说，点粒子时的线，在弦论中则用带状曲面（开弦）或管道面（闭弦）来代替（图2b所示）。

例如，图2a中的世界线，是经典粒子在4维时空中的轨迹。两个固定点之间的经典路径只有一条，但如果考虑量子力学，一个粒子从A到B的路径有无穷多条，经典路径（蓝色线）只是其中一条（见图3a）。图3b显示的弦论中的情况也类似：除了蓝色代表的经典世界面之外，所有可能的世界面都对计算弦A到弦B的量子概率幅有贡献。

图3：路径积分（量子化）

根据量子场论，时空中的粒子，总是在不断地湮灭，又不断地产生。产生和湮灭一类的相互作用现象用各级费曼图来进行描述和计算，弦论也不例外，只是如上所述，相应的线段需要用“面”来替代而已，见图4。

图4：弦论中弦与弦的相互作用和费曼图

从场论的角度，比较标准模型来说，弦论的另一个优点是更为简化。量子场论在数学上可以有无穷多种，因此可对应于无穷多种粒子。比如说，对应于标准模型的61种基本粒子，便有61种不同的量子场论。而在弦论中，只需要一种描述“弦”的量子场论就可以了，由此从概念上得以简化。

在图2c中，我们已经提及“膜”的概念，它最早来自于与弦论相关的超引力理论（supergravity theory）。如今的弦论中经常谈到的膜，有p膜和D膜。

称为p膜（p-brane）的物理实体，是将点粒子的概念推广至1维、2维以及更高维度而产生的。举例来说，点粒子可以被视为0维的膜，而弦则可视为1维的膜，通常意义上的“膜”是2维的。此外，也可能存在更高维的膜。

p膜是动力学物体，在时空中行进时，所根据的是量子力学的规则。它们带有质量与其他性质，例如电荷。一个p膜在时空中的行进，扫出了（p+1）维度的体积，称之为世界体积（worldvolume）如图2c所示。

另一类膜叫做D膜（d-brane），表示符合狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）的膜。D膜是弦论中一类很重要的膜，与开弦在时空中的运动有关。当开弦在时空中行进时，开弦的端点必须在D膜上。对D膜的研究导出了与对偶性有关的重要成果，下一篇的文章中会给以简单介绍。

图5：D膜上的开弦

本文开始时曾经提到过：弦论的空间分为伸展的大空间和卷曲的小空间。使用前面文章“电缆线上蚂蚁”的比喻：我们看见的电缆线是1维大空间，而线上的蚂蚁则能看见另一维卷曲的圆圈（小空间）。

弦论中的大时空是4维的，卷曲紧致的小空间是6维的。4维和6维都无法用平面图像显示出来，但是，为了方便解释概念，我们将弦论的10维时空简化为图6a的长长圆柱体，看起来像是蚂蚁眼中的2维电缆线。用沿着电缆线方向的那一维，代表4维大时空；用电线的截面圆圈，代表6维小空间。使用如此比喻的话，10维时空中的开弦闭弦，就是电缆线上的小蚂蚁了。

也就是说，图6中无限延伸的x方向代表我们熟知的4维时空，y方向卷曲的小圆代表6个额外小维度。这个6维空间可以是卡拉比-丘流形，也可以简单地理解成本篇所说的6维抽象环面。对6维环面而言，图中的R就不是1个数值而应该被理解为代表6个数值了。

图6：弦论空间和“绕数”的示意图

从点粒子到弦论，并非所有物理量都有相应的类比物，弦的特殊性会产生某些点粒子模型中没有的性质，我们举闭弦在紧致空间中的“绕数”[2]为例，它就是4维时空的标准模型中没有的物理量。

如图6所示，10维时空分成一大一小，其中弦的运动也可以从这两个方面的运动来讨论。也就是说：弦，除了在大的4维时空中运动外，还能绕着紧致空间运动。闭弦的这种运动尤其特殊，因为闭弦可能有一种特别的状态，就是绕在某一个（或多个）紧致的维度上，可以绕上1圈、2圈或者很多（N）圈，见图6b。于是，闭弦便多了一种量子态，用一个新的量子数表征这个量子态，叫做“绕数”（linking number）。

开弦没有绕数的概念，因为开弦在拓扑上等效于一个点，“绕”不起来。

当缠绕在紧致维度上的闭弦发生相互作用时，总绕数是一个守恒量。

图6b上方的图，举出了绕数w=0、+2、+1、-1的例子，下方一图表示了一个闭弦的变化（等效）过程（从左到右），可用以简单地说明绕数守恒：开始时，闭弦只是放在圆柱上，没有绕圈，因此w=0。闭弦上的点A和B接近后相互作用，成为w=1和 w=-1的两个闭弦，但绕数的总和仍然为0。

怎么样，你是否理解了点粒子与弦玩法上的不同呢？很好理解是不是？下一篇，我们将介绍对偶性。