一个看上去绝对正确的论述，结果却能够推导出一个完全荒谬的结论。这些悖论与数学家们一直保持着一种暧昧的关系——既代表了最严重的危机，又是一种新想法和新理论的来源。

所谓悖论，就是一种似假非真、似是而非、自相矛盾的命题。它是一种显然不能被解决的矛盾。一个看上去绝对正确的论述，结果却能够推导出一个完全荒谬的结论。想象一下，你列出了一个公理的清单，这些公理在你看来都是不容置疑的，然而你却从这些公理出发推导出了一系列明显是错误的定理！简直是噩梦啊！ 

说谎者悖论

历史上著名的悖论之一，是由米利都的欧布里德提出的， 内容与古希腊诗人埃庇米尼得斯说过的话有关。的确，埃庇米尼得斯曾在某一日宣布说：“所有的克里特人都是骗子。”那么问题来了，埃庇米尼得斯自己就是一个克里特人！因此，如果他说的是真的，那么他就是个骗子，所以他说的就是谎话； 如果他说的是假的，那么他就是在说谎，这句话就成了真话！ 后来，这个悖论被演变成了各种各样的形式，其中最简单的一种，是一个人说：“我说的这句话是谎话。” 

说谎者悖论挑战了一个我们预设的想法，那就是对于任意一句陈述来说，它或者是真，或者是假，绝对没有第三种可能。在数学上，这被称为“排中律”。乍一看，把排中律的原则当成一个公理似乎是个很诱人的提议。然而，说谎者悖论却警告了我们：情况比排中律所说的更复杂。如果一个陈述确认了自己的虚假性，那么在逻辑上，它就是既非真也非假的。

但是，这种程度的“困扰”并不会影响当今大多数数学家认为排中律是真实的。毕竟，说谎者悖论并不是一个真正的数学陈述，人们觉得它更像是一种语言学上的不一致，而不是一种逻辑的矛盾。然而，欧布里德身后2000多年，逻辑学家们发现，同样类型的矛盾居然也出现在了最严格的理论当中，造成了数学领域的剧烈动荡。

阿喀琉斯追乌龟

公元前5世纪的古希腊哲学家，埃利亚的芝诺，也是一位善于创造悖论艺术的大师。他自己一个人就创造出了将近10种悖论，其中最负盛名的，就是“阿喀琉斯追乌龟”。

想象一下，阿喀琉斯（一位著名的运动健将、“希腊第一勇士”）和一只乌龟，赛跑。为了平衡一下双方实力，乌龟被允许领先一段距离起跑，比如说领先100米好了。尽管乌龟具有这样的优势，然而在我们看来，奔跑速度远远大于乌龟的阿喀琉斯都将很快赶超乌龟，赢得比赛。

然而，芝诺却向我们证明了相反的结果。芝诺说，比赛的路程可以被分为若干个阶段，为了追赶上乌龟，阿喀琉斯必须至少先跑过乌龟领先的100米。而当阿喀琉斯跑过这100米的时候，乌龟也前进了一段距离，因此，阿喀琉斯必须要再跑过这段距离才能追上乌龟。可是当阿喀琉斯跑完这段距离的时候，乌龟又会往前移动一段距离。因此，每次阿喀琉斯跑完了乌龟领先的一段距离，乌龟都会继续再领先一段距离……

总之，每次阿喀琉斯跑到之前乌龟所在的地方的时候，乌龟都又前进了一段距离，阿喀琉斯始终也追不上乌龟。这个“追赶”的过程可以一直持续下去，不管重复多少次，都是真的！因此，阿喀琉斯看上去总是越来越接近乌龟，可是永远也无法超过它。

很荒谬吧，不是吗？但是只要亲自下场验证一下就能知道，阿喀琉斯真的是分分钟就能超越乌龟。然而，芝诺的推演过程看上去很牢靠，似乎很难寻找到什么逻辑上的错误。数学家们花了很长很长的时间，才终于明白这个悖论实际上是巧妙地玩弄了“无限”的概念。

假设乌龟和阿喀琉斯沿着直线跑，他们的运动轨迹可以看作欧几里得所谓的“线段”。一条线段具有一个有限的长度，尽管它是由无限个点构成的，而每个点的长度都等于0。所以，在某种程度上说， 这是一种有限中的无限。芝诺悖论切割了时间间隔，使得阿喀琉斯追赶乌龟的时间间隔变得越来越小。然而，这些无限的阶段却发生在有限的时间内，因此，当时间被突破的时候， 就没有什么能够阻挡住阿喀琉斯追上乌龟的脚步了。

毫无疑问，数学中的“无限”概念绝对是悖论产生的最大来源，然而“无限”同时也是一些最迷人的数学理论产生的摇篮。

纵观历史，数学家们与悖论之间一直保持着一种暧昧的关系。一方面，对于数学家们来说，悖论的出现代表了最严重的危机。一旦某一天，某个理论衍生出了一个悖论，那么这个理论的所有基础，也就是我们依据公理创造出来的所有定理，将纷纷倒塌。

但是另一方面，悖论意味着挑战！悖论是一种非常令人兴奋的、丰富的问题来源。悖论的存在意味着有什么东西正在困扰着我们，原因是我们错误地理解了一个概念，或者错误地提出了一个定义，或者错误地选择了一个公理。因为我们太过想当然，把一个明显不是“显然”的事情当成了显然。悖论是通往冒险的邀请函，这张邀请函让我们不得不重新思考之前最熟悉的那些“理所当然”。如果没有悖论不断地怂恿着我们前进，那么我们将错过多少新想法和新理论呢？

作者简介

米卡埃尔·洛奈（Mickaël Launay）2005年进入法国巴黎高等师范学院，并于2012年获得概率学博士学位。

（本文经授权摘编自北京联合出版公司出版的《万物皆数》（2018年8月，[法]米卡埃尔·洛奈/著，孙佳雯/译）第五章《一点儿方法》。）

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