狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902 -1984）1927年的文章中，将电磁场量子化，目的是为了解释爱因斯坦在1916年提出的原子自发辐射问题。一个孤立原子，不可能自动地辐射原本不存在的光子。引进了场论的观点后，真空不空，而是成为了光子场的基态，这样就能将自发辐射看做真空对原子相互作用的结果。在具体计算中，只能用微扰论来计算这种相互作用。实际上，量子电动力学，本来就是电磁量子真空态的微扰论。

如上一篇中所述：在粒子数表象中，光子场系统的总能量可以表示为：

公式中n是光子数。什么是真空态呢？真空态是可以由我们自己定义的。因为我们讨论的是光子场，所以最合适的真空定义是所有（频率）的光子数都为0。但是从上式中可见，n=0的真空态|0>，对应的总能量并不为0。这时的能量H=½h，这个值便被理解为真空态的涨落。

因此，用QED（Quantum Electrodynamics，量子电动力学）研究原子（或电子）和电磁场系统时，可以将对应于能量的哈密顿量写成几个部分之和：单独原子系统的哈密顿量，单独电磁场的哈密顿量，两者（原子和电磁场）相互作用的哈密顿量。如下图所示。

电磁场和原子（或电子）的哈密顿函数

二战结束之后，物理学家们重新思考如何解决这个问题。有三次重要的会议与此有关。

1947年6月，在纽约州长岛东段的谢尔特小岛（Shelter Island）上，美国科学院专门召开会议，主题是量子力学与电子问题，实际上主要讨论当时物理中出现的突破性进展：物理学家威利斯•兰姆（Willis Eugene Lamb，1913-2008）和同事用战争中发展的新兴微波技术测出的 “兰姆位移”及相关问题。

这是科学史上的一件盛事，虽然与会者仅有24位，但都是一流人物。

根据狄拉克方程计算，氢原子的2S（1/2）和2P（1/2）能级相同，可以简并。然而，兰姆探测后发现，这两个能级其实并不吻合，而是存在一个小小的能级差，好比梯级中这对本应一般高的台阶却有一个比另一个稍微高了一点。后来将此现象称为兰姆位移。

兰姆在谢尔特岛会议上作报告，图源[3]

威利斯·兰姆是生于洛杉矶的美国物理学家，1934年获得加州大学伯克莱分校化学学士学位，后来在罗伯特·奥本海默的指导下完成中子散射研究，他于1938年获得物理学博士学位。他测试了兰姆位移，并因此在1955年获得诺贝尔物理学奖。2008年，兰姆由于胆结石疾病的并发症去世，享年94岁。

谢尔特岛会议上，有费曼，还有另一位与费曼同龄的聪明年轻人——哈佛大学的美国理论物理学家朱利安·施温格（Schwinger Julian S，1918-1994）。施温格和费曼同年出生于纽约，家族是波兰籍的犹太裔，从事制衣行业。施温格从小聪慧过人，也是个有名的天才。施温格的生活习惯很奇怪，习惯白天打瞌睡睡懒觉，晚上起床学习和工作。不过，他是物理学家中出了名的硬算高手，对冗长繁难的笔算非常拿手。

伊西多·拉比（Isidor Rabi，1898-1988）是美国犹太人物理学家，他发现了核磁共振（NMR），并于1944年获得了诺贝尔物理学奖。施温格在纽约市立学院读本科时，被伊西多·拉比看中，后转至哥伦比亚大学学习。施温格于1939年获得博士学位，毕业后在伯克利加州大学和普渡大学任教。二战期间，施温格从事了有关雷达和加速器的研究。1945年出任哈佛大学教授，但后来因与同事不和，70年代离开哈佛至加州大学洛杉矶分校任教直至退休。施温格培养了多名优秀博士生，其中有4名获得了诺贝尔奖，此外还有布莱斯·德维特（Bryce DeWitt，1923-2004），他是量子引力的奠基人。

事实上，当年拉比也向谢尔特岛会议做了精确测量电子磁矩的报告，不过由于兰姆的工作而颇显黯淡，但不久后它在量子电动力学的发展中也扮演了重要的角色。

在谢尔特岛会议之前，日本的朝永振一郎（Sinitiro Tomonaga，1906-1979）与他的日本同事已经解决了不少量子场论的问题，但因为战争的缘故，他们的工作不为美国科学家所知。在谢尔特岛会议上，施温格和费曼贡献了另外两种方法。

也就是在这次会议上，诞生了重整化（renormalization，也称重正化）的想法。

在介绍重整化之前，还应该提及一个所谓正规化（regularization）的方法。正规化是将产生发散的部分“截断”。很多情况下，无穷大是产生于量子场论中对从0到无限大的所有动量的积分。例如，电子自能的计算中，需要包括所有频率的电磁场的能量，k值大的部分积分引起无限大，如果将积分限制在某一个k以下，便能得到有限的结果。大的k值对应于小的空间范围，所以也可以说正规化就是将空间尺度限制在一定范围，例如，设定一项空间中最小距离D，略去（截断）那些太小（小于D）的尺度。

但正规化的方法引起许多质疑，例如，结果可能会与最小距离D有关，那么，到底应该从哪个距离D开始截断才能得到正确的答案？此外，除了截断值D之外，量子场论中的参数与物理测量值之间，还有许多含糊的概念。换言之，哪些参数是可以测量的？哪些参数无法测量？将这些想法综合起来，物理学家们产生了后来称之为重整化（renormalization）的思想。意思就是，是否有可能根据物理参数的实验值，通过重新定义某些参数（比如电荷、质量、耦合常数等），使得当正规化中的D趋近0的时候，计算结果收敛于一个与D无关的固定值。换言之，计算中的无穷大问题可能可以在重新定义的参数中被抵消。除此之外，物理学家们又进一步规定：如果一个理论中，只有有限多个参数需要被重新定义就能消除发散问题，这个理论就被认为是可以被重整化的，否则就是不能被重整化。例如，可以证明，QED是一个可以被重整化的理论。

实际上重正化的第一步想法应该归功于最有洞见的狄拉克，他在1933年8月写给玻尔的信中，提到电子的“有效电荷”：“佩尔斯（Rudolf Ernst Peierls，1907-1995）和我一直在关注由静电场引起的负能量电子的分布变化问题。我们发现这种分布上的变化使得部分电荷中和 ……这些有效电荷在所有低能实验中都可以测的到，实验决定的电子电量应该和电子的有效电荷量一致……当这种mc²大小的能量开始起作用，人们可以期待一些公式的修正。”狄拉克的有效电荷就是我们测量到的电荷，他所说的真实电荷就是现在所说的“裸”电荷，即他信中所说“电荷的中和”就是电荷重正化。

除了裸电荷（bare charge）之外，还有裸粒子具有的裸质量或其他裸参数，“裸”的意思，是将所考虑的粒子设想成完全孤立，不和任何其它粒子（或场）发生相互作用的情况下它所具有的性质。但是不存在完全孤立的粒子，所以“裸”只有理论上的意义，没有观察效应。因此，我们并不真正知道这些裸参数的值。重整化的思想，是将这些裸参数假设为无穷大，并与使用微扰论时碰到的无穷大量同样级别增长且互相抵消。两者相消的结果，是具有真实物理意义的可测参数。

在谢尔特岛会议上，克拉默斯（Hendrik Anthony Kramers，1894-1952）提出重新标准化（归一化）电子质量的建议，即质量重正化。也就是将裸质量设想成无穷大以抵消无穷大的粒子自能。电子与自身电磁场是不可分离的，从一开始就考虑其与电磁场的相互作用而增加的质量，即考虑实验质量，便不需要涉及电子的具体结构问题而克服发散困难。

四天的会议结束之后，贝特从纽约坐火车返回，途中仍然忘不了思考物理问题，干脆拿出纸笔，成功地完成了氢原子中电子能量的兰姆移位的第一次“重正化”计算。他把理论上能够通过重新定义电子的电荷e₀、质量m₀和场量Ψ这些发散量，用重整化的方法吸收过去。经过重正化的处理后，各阶修正的结果都不再发散，计算的各阶辐射修正可以和实验进行比较；这一方法给出了兰姆移位的正确答案。

之后，在多位物理学家的努力下，重整化的方法和理论逐渐完善。应用重整化之后的量子电动力学，成为计算结果最精确的理论，根据它求出的电子和光子相互耦合的精细结构常数（fine-structure constant）的理论值，和试验的误差小于百亿分之3。因此，费曼后来把QED誉为“物理学的瑰宝”。

费曼对QED贡献最大的工作，要首推他的费曼图。我们将于下一次介绍。