玩手机,学会考试需要的硬核知识 | 亲子科学系列(2)-深度-知识分子

玩手机,学会考试需要的硬核知识 | 亲子科学系列(2)

2019/09/09
导读
别刷朋友圈了,过来和娃一块做实验。

孩子们觉得某些课程内容艰苦枯燥,并不一定是不勤奋,一部分原因是看不到这些内容与实际之间的联系。我们做老师家长的,就要努力帮助他们建立课堂知识与实际之间的联系。要联系实际,实践动手是非常重要的一项措施。

撰文 | 吴进远


作为家长,心情常常是矛盾的。一方面希望孩子能快乐的成长,在学习中不用死记硬背“知识点”,另一方面又希望孩子成绩好,以后能找个好工作,在竞争激烈的社会中占有一席之地。毕竟多数孩子不是富二代,家里没有矿,要想恰饭,就要考个好成绩,上个好大学,谁也不愿孩子成为废柴,对吧?

严格要求孩子,教育孩子不怕在学习中吃苦,这没有错,但同时不要忘了学习还有快乐一面。我们面临的中短期目标不就是要取得尽可能好的高考成绩吗?死记硬背,大量刷题等的确是提高成绩的有效方法。但还有一个更本质的方法,就是学透学通这些知识。高考需要的那些硬核知识,至少有很大一部分是可以快快乐乐地学会的。一个人快乐了,有了动力,学习起来效率就会高。效率高了,熬夜就会少,从而更快乐,效率更高,进而步入良性循环

要让孩子在学习中体验到苦中有乐,苦尽甘来。这种乐与甘,包括了老师家长的表扬,同学的景慕,还包括通过刻苦学习成绩提高的快乐,更包括了掌握知识后带来的愉悦,得以洞察自然现象,理解自然规律本身这样一种奖励。

把学习变快乐的方法很多,而最有效的,莫过于家长与孩子一同去做一些融合了知识性、实践性、娱乐性于一体的亲子教育活动,家长参与进来,能提升亲子情感,有时甚至还能起到引导作用。今天我们就分享几个这样的活动,一起看看吧〜

茫茫一大片的三角函数式也能快乐地学?

学过中学三角函数的朋友,还记得三角函数的和差化积与积化和差公式吗?这些公式其实就是从正弦函数两角和sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)这么一个公式来的,一下推出20多个公式。先是和角差角公式


这几个公式两两相加与相减,就得到积化和差公式:


把自变量代换一下,x=a+b, y=a-b, a=(x+y)/2, b=(x-y)/2,就可以得到和差化积公式


这些公式虽然看着一大片,似乎要背下来非常辛苦,但其实来历却很简单。所以有的同学干脆不背,只要记住第一个和角公式,剩下的都随时可以推导出来。

当然随时推导的做法到考试的时候容易影响速度,所以很多同学包括当年作者自己还是寻找各种方法来记忆这些公式。最近在知乎上搜到一个挺有趣的口诀,我稍微修改了一点,这里分享给大家:


通过口诀,我们记住了公式,但这仍然是一种苦中作乐。要想真正感到苦尽甘来,还是需要回答孩子们经常会问的那个问题,这个东西有什么用,好玩吗?问到好玩,那么我们就找两个手机来玩玩


嗡嗡作响的拍音与三角函数和差化积公式

我们用手机来做个实验。通过实验,使我们直观地体会一下和差化积公式是怎么回事。


  • 实验准备

到手机APP商店,用sine wave generator 这样的关键词搜搜,下载一个生成正弦波的软件。


  • 现象观察

让两个手机,发出频率相近的正弦波,比如一个800 Hz,另一个800.5 Hz。


这时两个手机的声音混在一起,我们听到了“嗡——嗡——嗡——”的拍音。它们混合声音的频率听上去与单个手机基本相同,但强度发生时大时小的变化。如果稍微改变其中一个的频率,我们会发现拍音的强度变化速度也会跟着改变。


我们知道,这种强度的变化,是声波到达我们耳朵时互相加强或者互相抵消造成的。不同频率的正弦波,它们的相位时而相同而互相增强,时而不同而互相抵消。这个现象,用图形计算器可以很方便地算出来。


我们既然学了和差化积公式,那么就不妨用上。为了简化问题,我们先假定两个声波的强度一样,于是耳朵里听到的声压 P 就成了两个正弦函数相加的和。


假设两个正弦波的频率 f1 与 f2 接近,当我们把这个和化成两个三角函数的积之后,就得到两个成分。第一部分频率比较高 (f1 + f2 )/2,这是两个频率的平均值,可以近似地看成是无线电技术中的载波,而另一部分频率比较低 (f1 - f2 )/2,这部分起到了调制声音强度的作用,使之听起来一会强一会弱。

  • 知识延伸

这种拍音现象在很多地方都能看到,比如钢琴中高音部每个音符有三根弦,如果很长时间没有调,三根弦变松,振动频率不一致了,就会产生拍音


在调钢琴的时候,用毡垫把其中一根塞住,只让另外两根振动,就可以更清楚地听到这种拍音。

有时,甚至一根钢管,横向敲响时,由于存在某种不对称性,会出现频率接近的两种振动模式。这两种振动模式产生的声音也会发生拍音。


通过这样一类实验,我们可以进一步理解到,和差化积的四个公式,实质上是一个公式,其结果都可以看成是产生一个被调制的载波信号。至于“帅哥”,“哥帅”,“哥哥”还是“嫂嫂”之间的区别,仅仅取决于两个信号之间的初始相位。

从积化和差公式到高保真耳机

前面谈了和差化积公式,那么,我们有什么办法能够直观地看到积化和差公式吗?为此,我们一共需要三个手机来做下面这个实验。(我仿佛听到有的朋友家中的声音:“老公(老婆),别刷朋友圈了,过来和娃一块做实验。”)


  • 实验准备

在手机APP商店下载一个叫“Spectrum View”的软件(或其他频谱分析软件),安装在一个手机上。在其他两个手机上下载安装前面提到的正弦波信号生成软件。

  • 实验步骤与现象观察

两个手机分别播放 3200 Hz 与 3800 Hz 两个频率的正弦波。在第三个手机上观察生成的频谱。


在声源离开频谱分析手机比较远的情况下,我们测到如上面图中的两个尖峰,对应于声源的两个频率。同时,我们还看到它们的二倍频 6400 Hz 与 7600 Hz 两个峰,这两个倍频成分是发声手机自身波形畸变造成的。此时的频谱是后面实验的参照,我们可以利用它教孩子看懂频谱分析图片,比如横坐标、纵坐标、尖峰的含义等。

当我们把声源放到靠近手机的地方时,可以看到频谱上多了几个峰


我们可以看到除了原有的 3200 Hz 与 3800 Hz 两个峰,还有它们的二倍频 6400 Hz 与 7600 Hz 两个峰。此外,还有它们的和频 7000 Hz 与差频 600 Hz 两个峰。还有另外两个峰分别对应于 2*3800-3200 = 4400 Hz 以及 2*3200 – 3800 = 2600 Hz。

  • 原理分析

这几个多出来的峰是频谱分析手机内部电路的非线性造成的。

什么是非线性呢?这要从什么是线性说起。在很多物理系统中,物理变化与外界影响之间的关系,近似是线性的。比如手机中的话筒,它产生的电压(v)与外界声压强变化(P)的关系近似成正比,也就是说它们的系统特性函数为:


其中 a1 是一个常数。这种关系画在函数图中是一条直线,因而叫线性关系。

但实际情况下,上面这两种物理量的关系不一定是严格成正比的,真实的系统特性函数可能是这样的:


这种关系画出来就不是直线,因而称为非线性关系。

如果我们往这样的非线性系统里,输入两个不同频率的正弦信号。在系统特性函数中的平方项,就会出现两个正弦函数各自的平方,以及二者相乘的积。


利用前面的积化和差公式(8),不难看出,从上面的几个平方项中,我们可以得到两个频率的二倍频成分:2f1 和 2f2。而中间一项两个正弦函数相乘,则可以产生两个频率的和频与差频成分:(f2 + f1 )和(f2 – f1 )。这和我们在前面频谱图中看到的结果一样。

这里提醒读者,在积化和差公式中,结果的三角函数中是(a + b)与(a – b)。而在和差化积公式中,是 (x + y)/2 与 (x – y)/2。时间长了,哪个公式有除以2,哪个没有,容易傻傻分不清。而我们可以看到非线性现象会产生和频与差频,由此可知积化和差是没有除以2的。因此,这种实际的物理现象,可以成为我们记忆的支点。

此外,我们从图中还可以看到非线性中三次项产生的 4400 Hz 以及 2600 Hz 等频率成分,这些,也可以用积化和差公式慢慢算出来。

  • 知识延伸

在音响系统中,非线性特性经常被称为非线性失真。它会无中生有地产生原来并不存在的频率成分。

如果我们用音响听一个乐器演奏的单个音符,问题还不是太大,因为这个时候生成的只有二倍频,三倍频等成分。一个乐器原来就有这种倍频成分,这些倍频成分的相互比例决定了一个乐器的音色。这样,非线性产生的倍频成分只会与乐器原有倍频成分相叠加,使得它的音色听起来略有不同而已。

但我们使用音响从来不是为了听单一一个音符。很多音乐作品中都会出现两个或多个频率同时演奏的情况。如果音响系统的非线性太大,就会产生这些频率之间的和频与差频。这就像是乐队里忽然来了一些隐形人,他们悄悄地演奏或演唱一些原来没有的音符。而且,这些和频或者差频成分,很可能压根不在音乐的音阶体系里面,您可以想象一下,如果这些隐形人是一些走音的歌星,就会明白这种听觉感受了。

音响系统中的部件,比如话筒,扬声器等,都多少会有些非线性。不过,当振幅很小的时候,这些二次方或三次方的非线性项比起一次方的线性项的贡献要小得多。我们学过,一个很小的数,它的平方或者三次方会比它本身更小。利用这个性质,我们就可以把普通的扬声器变成高保真度耳机


普通扬声器正常使用的时候,声音强度像我们说话那样。而如果作为耳机,我们就必须把输入电压调到很低,使它发出的声强相应降低。如果输入电压是正常使用情况下的1%,则非线性失真中的平方项就变成了原来的万分之一,三次方项更变成原来的百万分之一,从而大大降低失真。下图就是作者利用废弃电脑音箱中拆出的扬声器,自制的高保真度耳机,使用效果相当满意。

孩子们觉得某些课程内容艰苦枯燥,并不一定是不勤奋,一部分原因是看不到这些内容与实际之间的联系。我们做老师家长的,就要努力帮助他们建立课堂知识与实际之间的联系。要联系实际,实践动手是非常重要的一项措施。

学习当中有不少枯燥的东西要背下来,尤其是要趁年轻的时候背下来,所以必须做好不怕吃苦的准备。不过,苦中可以有乐,我们想些巧办法,比如编口诀,这样有利于提高学习效率。但这还不是终极的解决方案,我们老师和家长还要使孩子能够感到苦尽甘来。这就要把知识向生活与实践延伸。让不同地方学到的知识在远端连接起来。通过刻苦学习得到的知识,使我们变聪明了,能够解释以前让我们如堕雾的自然现象,才是终极的奖励,终极的甘。

不要觉得,这些课外内容会加重学生负担。实际上,孩子学习兴趣提高了,效率自然会随之提高。因此课外内容不见得会拖累课内内容,反而可能有助于学好课内内容。

当然,我们做家长的学问还是有限的,并不能把所有的知识都变成这样的快乐活动。但是,我们可以通过有限的活动作为启发点,提升孩子的学习兴趣,进而引起孩子自主的学习,形成一个良性循环。祝愿孩子们都学有所成,冲鸭!


往期回顾

· 带娃漫步荷塘边,有月色,还可谈科学 | 亲子科学系列(1)



文章头图及封图片来源:pinterest.ru

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