在生前身后相当长时间内，拉马努金一直不被普通公众所重视，直至2015年，他的故事被拍成了电影《知无涯者》（The Man Who Knew Infinity），拉马努金的名字才进入大众文化视野，因其传奇的数论天赋为世人熟知。
今天是拉马努金诞辰的132周年纪念日。在他逝世后的近一个世纪，人们仍然享受着他的数学遗产，并期待更多奇迹的发现。
2012年印度国家数学日纪念邮票（图源：Wikipedia）
撰文 | 杨枭
编辑 | 赵坤 小赛
数学离不开证明，但有一位数学家常常跳过这一关键步骤。1913年，他给身在剑桥的哈代（G. H. Hardy），寄去了一堆几乎没有什么证明的公式，比如：
这是一个积分求解的公式。尽管教科书上有上百种求解微积分的方法，然而任意给出的一个函数很大可能无法求积。这封信上的公式相当于一个求解的捷径。为了证明这个公式，哈代颇费了一番功夫。
除此之外，哈代发现信上还有更多让他惊呼“完全打败了我”、“我从没见过像这样的东西”的公式。能让被誉为“20世纪英国分析学派代表人物”的哈代发出如此赞叹之人，究竟是谁？这些繁杂公式的主人叫作ஸ்ரீனிவாஸராமானுஜன்ஐயங்கார்（Srinivasa Ramanujan），是个印度泰米尔人。在生前身后相当长时间内，他一直不被普通公众所重视，直至2015年，他的故事被拍成了电影《知无涯者》（The Man Who Knew Infinity），拉马努金的名字才进入大众文化视野，因其传奇的数论天赋为世人熟知。
在印度
拉马努金于1887年12月22日出生在印度的泰米尔纳德邦的金奈（旧称马德拉斯），并成长在一个虔诚的印度教家庭。11岁时，通过从房客那里借阅高等数学书，他掌握了当时大学数学的全部知识。16岁时，他从朋友那里获得了《纯数学与应用数学基本结果概要》（A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics）的图书馆副本，其中收录了5000个定理。这本书唤醒了拉马努金的数学才华，使他从此开始在笔记本上涂涂画画，记录数学女神给他的灵感。
然而，独特天赋并没有让他获得全面的报偿。无论是奖学金考试还是大学毕业考试，他都只能通过其中有关数学的部分。没有学位，无人指导，他只能私下独自研究数学。拉马努金家是正统的婆罗门，在印度教种姓制度下属于祭祀贵族，一家人虽然精神上很富足，物质上却非常贫穷。接下来的几年拉马努金穷困潦倒，甚至食不果腹。
1910年，拉马努金遇到了印度数学协会的创始人耶尔（V. Ramaswamy Aiyer）。为了能够在税务部门找到一份工作糊口，他向耶尔展示了自己的数学笔记。于是，耶尔成为了拉马努金的第一位伯乐。在耶尔的帮助下，拉马努金结识了当地有名望的数学家们，并经过推荐，得以将数学成果发表在《印度数学学会杂志》（Journal of the IndianMathematical Society）上。杂志在每期开始时，总会提出娱乐读者的挑战性问题，拉马努金就提出了这样一个问题：
拉马努金期待会有人回复他，但事实证明，天才的问题可能只能由天才自己解答，他在六个月后给出解法，为此，他又提供了一个创造性的公式，
通过该公式，代入x=2, n=1, a=0，就能求解上述问题。这个等式说明，任何一个数分成x，n，a三部分后，就可以用一个无穷嵌套的平方根表示。拉马努金极其偏爱“无穷”，他不仅研究无穷嵌套的平方根，还有连分数（分数的分数的分数……），还有无穷级数。有数学家曾经评价“无穷级数是拉马努金的初恋”。这也是为什么传记作家卡尼格尔（Robert Kanigel）称其为“知无涯者”。拉马努金的第一篇论文是有关伯努利数的，就是用无穷级数定义的数。在长达17页的论文《伯努利数的一些性质》（Some Properties of Bernoulli's Numbers）中，拉马努金给出了三个证明、两个推论和三个猜想。他的作品最初有许多瑕疵，正如其编辑所说：“拉马努金先生的方法是如此的简洁和新颖，他的表达是如此的缺乏清晰和精确，以至于普通的数学读者，不习惯这种智力体操，很难跟上他的思路。”1913年，在印度数学协会的帮助下，拉马努金将研究寄给了英国的数学家。尽管其因证明内容混乱而遭到几位数学家的冷遇，但是当时英国顶级的数学家哈代还是发现，写信的人是个天才。拉马努金在信中提到了这样一个乍一看很像小学奥数题的公式：
这一公式对哈代来讲非常新颖，它由一类超几何级数函数派生出来，这类函数最初是由欧拉和高斯研究出来的。哈代发现这些结果比高斯在积分上的工作“更有趣”。在手稿的最后一页看到其关于连分数的定理后，哈代说这些定理“一定是真的，因为，如果它们不是真的，没有人有想象力去创造它们”。
20世纪的数学已经高度系统化，哈代很难想象一位未经专业训练过的人，能够作出如此天才的工作。正如文章开始描述的那样，哈代对拉马努金赞誉有加。在几次通信后，哈代便邀请拉马努金来到剑桥工作。
去剑桥
拉马努金前往剑桥的过程颇费了些周折。由于他的家庭是正统的婆罗门，出于宗教的考虑，到外国去便可能失去种姓，因此拉马努金一开始拒绝前往英国。后来，他的母亲做了一个梦，梦中Namagiri女神命令她，不要再阻碍自己的儿子追求理想。拉马努金的剑桥之旅这才得以成行。在海上漂泊了近一个月后，拉马努金来到了剑桥。接着，哈代和利特尔伍德（J. E. Littlewood）着手研究他的笔记本。虽然在之前的信中，哈代已经收到了120个定理，但拉马努金的笔记本中还有更多。哈代发现其中有些定理已经被发现了，只是拉马努金还不知道，但还有一些是真正的突破。哈代和拉马努金个性截然不同。哈代是一位无神论者，证明和数学严谨性的倡导者；拉马努金则是一位笃信宗教的人，他非常依赖自己的直觉和洞见。哈代尽其所能填补对方教育上的空白，并在需要正式的证据来支持研究结果的情况下指导他。他们在剑桥合作了五年。后来，当哈代被问到什么是他对数学最大的贡献时，他不加思索地回答，是发现了拉马努金。他称他们之间的合作关系为：“我人生中的一个浪漫的意外”（theone romantic incident in my life.）。1916年3月，拉马努金因其在高度合成数[注]方面的研究获得了理学学士学位（后来更名为博士学位），该学位研究成果第一部分以论文的形式发表在《伦敦数学学会学报》（Proceedings of the LondonMathematical Society）上。这篇长达50多页的论文，证明了这些数字的各种性质，是当时数学研究中最不寻常的论文之一——拉马努金在处理它时表现出了非凡的独创性。拉马努金提出了一系列非凡的命题，但因他的数学表达常常与其他数学家相异，很多命题没有得到证明而被称作拉马努金猜想。其中，最著名的是他断定了拉马努金τ函数的大小。1916年，拉马努金发表了一篇关于一个算数函数的文章，想要求解，即n的因子的s次幂的和。这个问题导向了τ函数，他发现了该函数的一些性质，但未能给出显式。直到1974年，比利时数学家德利涅（Pierre Deligne）才证得这一猜想，并因而获得了菲尔兹奖。1917年12月6日，拉马努金入选伦敦数学学会。1918年，他被选为英国皇家学会会员。他是第二位入选的印度人，也是皇家学会历史上最年轻的成员之一。1918年10月13日，他成为第一位当选剑桥大学三一学院院士的印度人。
回故乡
虽然荣誉纷至沓来，但拉马努金的身体状态每况愈下。实际上，他的一生都饱受健康问题的困扰。早年在印度时，长期的贫困与饥饿导致拉马努金一直饱受病痛的折磨。婚后，他患上睾丸鞘膜积水，不得不动手术，一家人却负担不起手术费，直到一位医生自愿免费为他治疗。然而，这只是他体弱多病的开始。到了英国之后，由于当地气候阴雨连绵，再加上一战期间定量配给造成的长期食物匮乏，拉马努金的健康状况恶化，他被诊断出患有肺结核和严重的维生素缺乏症，并被关进了疗养院。1919年，他带着成就与病痛回到了印度，然而故乡的气候与饮食也无力回天。临终前，拉马努金给哈代写了一封信。信中描述了几个新的函数，它们与已知的模形式（一种解析函数）有不同的表现，但又紧密地模仿了它们。他推测，他的模拟模形式与之前由雅可比（Carl Jacobi）确定的普通模形式相对应，并且这两种形式最终都将得到类似的输出。2012年，在拉马努金诞辰125周年的纪念日上，几位数学家宣布，他们解决了拉马努金留下的谜语。他们利用了一种当时还未开发出来的现代数学工具，证明模拟模形式可以像拉马努金预测的那样进行计算。模形式展开是计算黑洞熵的基本工具之一。虽然一些黑洞并不是模块化的，但是基于拉马努金设想的新公式，可以让物理学家像计算普通物理系统的熵一样计算黑洞的熵。不过，连证明都常常跳过的拉马努金，大概不会在意这些公式的实际应用。他常说：“一个等式对我来说没有意义，除非它代表了神的思想。“拉马努金以一种天真无邪的方式使用了自己非凡的洞察力，仅仅是为了欣赏数学之美。拉马努金死后，他的兄弟编纂了他留下的手写笔记，里面还有诸多奇异模、超几何级数和连分数的公式等待发现。
Google纪念拉马努金诞辰125周年的首页涂鸦（图源：Google）
今天是拉马努金诞辰的132周年纪念日。在他逝世后的近一个世纪，人们仍然享受着他的数学遗产，并期待更多奇迹的发现。
【注】高度合成数是指任何比它小的自然数的因子数目均比这个数的因子数目少，例如1,2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180……
参考资料
[1] Kanigel, Robert (1991). The Man Who KnewInfinity: a Life of the Genius Ramanujan. New York: Charles Scribner's Sons.
[2] https://www.newscientist.com/article/mg21628904-200-mathematical-proof-reveals-magic-of-ramanujans-genius/
[3] https://arxiv.org/pdf/1905.04060.pdf
[4] https://www.sciencedaily.com/releases/2012/12/121217091604.htm
[5] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%88%88%E5%BC%97%E9%9B%B7%C2%B7%E5%93%88%E7%BD%97%E5%BE%B7%C2%B7%E5%93%88%E4%BB%A3
[6] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AF%E9%87%8C%E5%B0%BC%E7%93%A6%E7%91%9F%C2%B7%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91
